Файл: Методические указания по выполнению практических заданий по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 05 Системы обеспечения движения поездов.docx

12. Найдите общее решение уравнения .

Ответ: .
13. Найдите общее решение уравнения .

Ответ: .
14. Найдите общее решение уравнения .

Ответ: .
15. Найдите решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Ответ: .
16. Найдите решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Ответ: .
17. Найдите решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

Ответ: .

Тема 8

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пример.Преобразовать систему

к системе уравнений первого порядка.

Эквивалентная система д.у. первого порядка:

Пример. Представить каноническую систему д.у. третьего порядка эквивалентной нормальной системой.

, , :

Пример. Представить дифференциальное уравнение третьего порядка

---

эквивалентной нормальной системой.

Эквивалентная система д.у. первого порядка:

Пример. Найти общее решение системы д.у. методом исключения неизвестных, преобразовав систему в дифференциальное уравнение второго порядка.

Производная первого уравнения системы: .

Замена в уравнении : .

Замена на : .

Общее решение д.у. : .

.

Общее решение системы д.у.:

Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Пример. Записать систему уравнений в матричной форме.

, , , .

или .

Пример. Установить линейную зависимость или независимость вектор-функций и .



Линейная комбинация тождественно равна нулю только в случае . Вектор-функции линейно независимы.

Пример. Доказать, что если вектор-функции и линейно зависимы, то определитель Вронского

---

.

Пусть и один из коэффициентов отличен от нуля, например, .

Тогда и , где .

Пример. Установить линейную зависимость или независимость вектор-функций





при любых значениях х. Функции линейно зависимы.

Действительно, существуют отличные от нуля коэффициенты , при которых линейная комбинация тождественно равна нулю, например,

Решение однородных систем линейных уравнений

Пример. Найти общее решение системы двумя способами.

I способ.  Матрица системы: .

Характеристическое уравнение: .

Корни характеристического уравнения: .

Фундаментальная система решений:



Уравнение для нахождения собственных векторов:

при : .

Собственный вектор для : ,

---

.

при : .

Собственный вектор для : , .

Общее решение системы:

_{или в скалярной форме}

II способ.  Корни характеристического уравнения: .

Вид общего решения (таблица 13.2):

Подстановка решения в первое уравнение системы:

.

Коэффициенты при :

Коэффициенты при :

Общее решение системы при :



Пример. Двумя способами найти частное решение системы уравнений при начальных условиях .

I способ.  Матрица системы:

Характеристическое уравнение .

Корни характеристического уравнения: .

Фундаментальная система решений:

.

Уравнение для нахождения собственных векторов:

при : .

Собственный вектор для :

---

, .

Комплексное решение системы:

.

Вещественная и мнимая части комплексного решения:

.

Общее решение системы:

_{или в скалярной форме}

Начальные условия:

Значения произвольных постоянных:

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

II способ. Корни характеристического уравнения: .

Вид общего решения (таблица 13.2):

Подстановка решения в первое уравнение системы: .

Коэффициенты при sinх:

Коэффициенты при cosх:

Общее решение системы при :



Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Пример. Найти общее решение системы

I. Матрица системы

Характеристическое уравнение .

Корни характеристического уравнения: .

Фундаментальная система частных решений:

.

Общее решение системы:

Пример. Найти общее решение системы

---