Файл: Методические указания по выполнению практических заданий по дисциплине математика ( О. 7) для специальности 23. 05. 05 Системы обеспечения движения поездов.docx

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

“петербургский государственный

университет путей сообщения ИМПЕРАТОРА АЛЕКСАНДРА I”

Кафедра «Высшая математика»

М.А. Шварц
Методические указания

по выполнению практических заданий

по дисциплине

«МАТЕМАТИКА» (Б1.О.7)
для специальности

23.05.05 «Системы обеспечения движения поездов»

по специализациям:

«Автоматика и телемеханика на железнодорожном транспорте»

«Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного

транспорта»

«Электроснабжение железных дорог»

Форма обучения – очная, заочная
«Радиотехнические системы на железнодорожном транспорте»

Форма обучения – очная

РАЗДЕЛ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Санкт-Петербург 2020

Тема 1

Уравнения с разделяющимися переменными

Пример. Решить уравнение .

; ; ; ;

Общий интеграл: .

Пример. Решить уравнение 3у²у¢– 2х = 0 при начальных условиях . Сделать проверку.

Частное решение уравнения:

---

Проверка: 3у²у¢– 2х = 

Однородные уравнения

Пример. Доказать, что – однородная функция.



Функция – однородная функция измерения 2.

Пример. Установить тип уравнения (x – y)dx + (x + y)dy = 0. 

1) Это однородное уравнение, т.к. его можно записать в виде .

2) Это однородное уравнение, т.к. (x – y) и (x + y) – однородные функции измерения 1.

Пример. Найти общий интеграл уравнения у¢ = + .

Замена , в уравнении у¢ = + :

;

; ; .

Общий интеграл однородного уравнения:

---

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Замена , в д.у. :

; x²(dx – xudu) = 0.

Решение уравнения dx – uxdu = 0: .

Общий интеграл д.у.: .

Замечание. Особое решение х = 0 – не входит в общее ни при каких значениях С.

1. Найдите общее решение д.у. .

Ответ: .
2. Найдите частное решение д.у. , удовлетворяющее начальному условию .

Ответ: .
3. Найдите частное решение д.у. , удовлетворяющее начальному условию .

Ответ: .
4. Найдите общее решение д.у. .

Ответ: .

---

5. Найдите общее решение д.у. .

Ответ: .
6. Найдите частное решение д.у. , удовлетворяющее начальному условию .

Ответ: .

Тема 2

Линейные дифференциальные уравнения

Пример. Методом Бернулли найти общее решение уравнения .

Замена , : .

Система уравнения для нахождения функций u(x) и v(x):

Частное решение первого уравнения системы: .

Второе уравнение системы: или .

Общее решение второго уравнения системы: u(x) .

Общее решение уравнения: .

Пример. Методом вариации произвольной постоянной найти общее решение уравнения

---

.

Однородное уравнение: .

– уравнение с разделенными переменными.

Решение однородного уравнения:

.

Производная решения : .

После подстановки у и у  в уравнение :

; .

Общее решение уравнения: .

Уравнение Бернулли

Пример. В уравнении сделать замену

– уравнение Бернулли

Замена : или

– линейное д.у. .

Пример. Методом Бернулли найти частное решение уравнения

---