ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.03.2024
Просмотров: 58
Скачиваний: 0
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
Таблица 3.6 |
||
|
|
|
|
|
|
Ai |
S j |
S1 |
S2 |
S3 |
|
|
A1 |
0,04 |
0,02 |
0 |
|
|
A2 |
0,02 |
0 |
0,10 |
|
|
A3 |
0 |
0,17 |
0,25 |
|
показателя полезности |
fij определяется разностью |
M f |
= Ma − Mr |
и имеет вид |
|||||||||||
табл. 3.7. Для этой матрицы также рассчитаны нижняя α* |
и верхняя β* |
цены игры. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.7 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai |
S j |
|
S1 |
|
S2 |
|
S3 |
|
α |
* |
= 0,85 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
0,91 |
|
0,88 |
|
0,85 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
A2 |
|
|
0,95 |
|
0,92 |
0,65 |
|
α |
* |
= 0,65 α* = 0,85 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
A3 |
|
|
0,99 |
|
0,58 |
0,35 |
|
α |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
= 0,35 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β* |
= 0,99 β* |
= 0,92 β* |
= 0,85 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1444442444443 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
β*=0,85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При нахождении минимаксных стратегий теории игр по полученным |
||||||||||||||
матрицам |
выигрышей |
Ma |
и |
M f |
выполняются |
соотношения |
αc =β = 0,85; |
α* = β* = 0,85 , что говорит о наличии устойчивых чистых стратегий, определяемых
седловой точкой. Для обеих |
матриц |
эта |
точка |
оказалась одной и той же |
||
γ = γ* = 0,85 . |
В табл. 3.5 и 3.7 она |
обведена |
кружком |
и определяет пару |
||
оптимальных |
чистых стратегий |
(A1, S3 ). |
В |
общем |
случае |
решение находится в |
области смешанных стратегий.
Наиболее прост для решения случай, когда заранее известны априорные
вероятности |
состояний: |
P1 = P(S1 ), |
P2 = P(S2 ), K, Pn = P(Sn ); |
причем |
|||
P1 + P2 +K+ Pn =1. |
На практике чаще |
всего эти |
вероятности неизвестны. В |
||||
медицине |
оценки |
этих |
вероятностей |
в |
виде |
соответствующих |
частостей |
«добываются» с большим трудом и не всегда обладают требуемой достоверностью. В случае отсутствия экспериментальных данных один из выходов заключается в получении требуемых оценок с помощью опроса экспертов и применении метода экспертных оценок. Если вероятности P1, P2 ,K, Pn известны, то при использовании
46
показателя aij решение игры находится на основе максимизации среднего значения
ai , где
n
ai = ∑Pj aij , j =1
с учетом вероятностей всех возможных условий, т.е. выбираем такую стратегию Ai ,
для которой
|
max . |
(3.3) |
ai |
Очевидно, что при использовании показателя rij решение игры находится на основе минимизации среднего риска, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
min, |
|
|
= ∑Pj rij , |
(3.4) |
|
ri |
ri |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
а для показателя fij на основе |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
fi |
max, |
|
fi |
= ∑Pj fij |
(3.5) |
j=1
В теории доказывается [7], что та же стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш ai , обращает в минимум и средний риск ri . Там же показано, что при использовании вероятностей состояний применение смешанных стратегий для A не дает ему дополнительных преимуществ, поэтому всегда можно обойтись одними чистыми стратегиями.
Пример 3.1. Рассмотрим больных с подозрением на острый аппендицит. В
зависимости от формы аппендицита будем различать два состояния больных: S1 -
недеструктивный аппендицит (простой), который не дает опасных для жизни осложнений и может пройти без оперативного вмешательства; S2 - деструктивный аппендицит, требующий срочной операции. У хирурга есть две стратегии: A1 -
оперировать, A2 - воздержаться от срочной операции (и наблюдать либо до исчезновения симптомов, либо до появления убедительной картины острого аппендицита). Пусть aij относительное число выздоровевших больных (в процентах)
из всех тех, находившихся в состоянии S j , к которым была применена стратегия Ai .
47
Тогда матрица Ma для этого случая, составленная по реальным данным [8] имеет вид табл. 3.8. Под каждым столбцом этой матрицы приведены значения априорных вероятностей: P1 = P(S1 )= 0,75; P2 = P(S2 )= 0,25 , взятые также из [8].
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.8 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai |
S j |
|
S1 |
S2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A1 |
|
|
99,9 |
99,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
100 |
99,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pj |
0,75 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если подходить к данной матрице с позиций теории игр и не учитывать |
||||||||||||||
вероятности |
P1 и |
P2 , то |
α = β = γ = 99,8 и мы имеем седловую |
точку |
99,8 |
||||||||||
(обведенную в таблице кружком), которая определяет минимаксные стратегии |
A1 и |
||||||||||||||
S2 . Учет априорных вероятностей позволяет рассчитать средние значения |
|||||||||||||||
выигрыша: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= 99,9 0,75 +99,8 0,25 = 99,87, |
|
|
|||||||||
|
|
a1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
=100 0,75 +99,3 0,25 = 99,82. |
|
|
||||||||||
|
|
a2 |
|
|
|||||||||||
Из этого расчета следует, что, так как |
|
> |
|
, то применяется стратегия |
A1 . Во всех |
||||||||||
a1 |
a2 |
случаях наилучшим признается проведение срочной операции. Этот пример убедительно показывает правильность поведения врача, предпочитающего срочное хирургическое вмешательство консервативному лечению при подозрении на аппендицит.
3.3 Критерии принятия решений в условиях неопределенности
Наличие вероятностей P1 , P2 ,K, Pn хотя бы в вероятностном смысле определяет поведение «природы», однако часто относительно этих вероятностей нельзя сделать никаких предположений. В этом случае для выбора оптимального решения существует несколько подходов, приведенных ниже.
К р и т е р и й Л а п л а с а . |
Согласно этому критерии, называемому также |
|||||||||
«принципом недостаточного основания» |
Лапласа, все состояния S1, S2 ,K, Sn |
|||||||||
считается равновероятными, т.е. P = P =K= P = |
1 |
. В этом случае, используя далее |
||||||||
|
||||||||||
1 |
2 |
n |
n |
|||||||
максимизацию |
|
(или |
|
) или минимизацию |
|
|
согласно выражениям (3.3)-(3.5), |
|||
ai |
fi |
ri |
48
которые, конечно, для этого случая упростятся, получим наилучшую чистую стратегию, удовлетворяющую данному критерию.
К р и т е р и й В а л ь д а . Это критерий, согласно которому игрок A выбирает свою минимаксную стратегию, соответствующую его гарантированному выигрышу, равному α. При этом выигрыш будет зависеть от состояний «природы», но не превысит максимина:
α = max minj aij .
i
Это очень осторожная стратегия, рассчитывающая на худший случай. (В играх с активным противником этот худший случай вырабатывается им в качестве противодействия). Критерий Вальда можно применять не только к матрице Ma , но и
к матрице M f . В последнем случае выигрыш игрока A не превышает α* , где
α* = maxi minj fij .
Вслучае, если α ≠ β для матрицы Ma , либо α* ≠ β* для матрицы M f , в этих
матрицах отсутствует седловая точка и игроку более выгодно применять смешанную стратегию. С точки зрения лечебного процесса это означает, что в качестве оптимального решения врачу предлагают применять различные планы лечения с соответствующими вероятностями, а не просто наилучший план. Учитывая, что данная «вычисленная» информация используется врачом в качестве совета, применение смешанных стратегий в данном случае следует считать целесообразным.
Матрица M f размерности 2 ×2 имеет вид табл. 3.9. |
|
|
|
|
Таблица 3.9 |
||||||||||||||
|
Ai |
S j |
S1 |
S2 |
|||||||||||||||
если эта матрица не имеет седловой точки, то |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
A1 |
f11 |
f12 |
|||||||||||||
оптимальная смешанная стратегия S * |
= (p , p |
2 |
) |
|
|
A |
f |
|
f |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
|
|
|
21 |
22 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
игрока A определяется соотношениями, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
аналогичными (3.1), (3.2). Потому в данном случае |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
p1 = |
|
f22 |
− f21 |
|
; p2 = |
|
f11 |
− f12 |
, |
|
|
|
|
|
|||||
f11 |
+ f22 |
− f12 − f |
21 |
|
f11 + f22 |
− f12 − f 21 |
|
|
|
|
|
||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
f22 − f21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
p2 |
f11 − f12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
γ = |
f22 f11 − f12 |
f21 |
|
||
|
|
. |
(3.7) |
||
f11 + f22 − f12 |
− f21 |
||||
К р и т е р и й С э в и д ж а . |
Этот критерий рекомендует |
в условиях |
|||
неопределенности выбирать для игрока |
A также минимаксную стратегию, но не по |
матрицам выигрышей Ma или M f , а по матрице риска Mr . Оптимальной считается та стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален). При этом риск для разных состояний «природы» не превышает значения R , где
R = mini max rij .
j
Критерий Сэвиджа так же, как и предыдущий критерий Вальда, допускает применение смешанной стратегии для игрока A в случае, когда матрица Mr не имеет седловой точки.
3.4Принятие решений при острых хирургический заболеваниях органов брюшной полости
Целесообразность применения теории игр для оптимизации принятия решения о проведении хирургических операций при “остром животе”, остром аппендиците, остром холецистите, закрытых травмах, онкологических заболеваниях и др. подробно раскрыта в интересной монографии [8]. Дальнейшее изложение основано на материале этой работы. Специфику применения игровых методов для принятия оптимальных решений в хирургии рассмотрим на примере клинической ситуации подозрения на “острый живот”, т.е. на острое хирургическое заболевание органов брюшной полости и на примере онкологических заболеваний.
При “остром животе” у хирурга есть только две стратегия: A1 - срочное оперативное вмешательство и A2 - отказ от срочной операции с последующим принятием нового решения. Состояния больного формулируются в соответствии с возможными управляющими воздействиями, т. е. стратегиями хирурга, следующим образом:
S1 - острое заболевание органов брюшной полости, при котором показана срочная операция;