Файл: Методичка.pdf

54

верхнюю β* цены игры. Так же, как и раньше, полагаем, что g > l . Тогда

β1* = max{(1 −l)(, 1 − 2g +l)},

β*2 =1,

β* = min{β1* ,β*2 }= β1* = max{(1−l)(, 1 − 2g +l)}.

Так как g > l , то (1 − 2g +l)< (1 −l) и β* = (1 −l). Далее

α1* = min{(1 −l)(, 1− 2b)},

α*2 =1 − 2g +l,

α* = max{α1* , α*2 }.

Если l ≥ 2b , то (1 − 2b)≥ (1 −l)и α1* =1 −l . В этом случае из-за выполнения условия

(1 − 2g +l)< (1 −l) нижняя цена игры равна α* = (1 −l) и равна верхней цене игры β* ,

что говорит о наличии у M f седловой точки при выигрыше (1 −l). Хирург в этом

случае должен принимать решение о проведении срочной операции ( A1 ). Цена игры в данном случае равна γ* = α* = β* = (1 −l). Если же l < 2b , то седловой точки нет и решение по критерию Вальда ищется как смешанная стратегия хирурга.

Проведенный анализ хорошо иллюстрируется на рис.3.3, где дана геометрическая интерпретация данной игры по матрице M f . Из данного рисунка видно, что максимум нижней границы выигрыша никогда не может быть в точке A2 .

Знак наклона прямой S1S1 всегда будет постоянен, так как (1 − 2g +l)> (1 −l), а

величина (1 − 2g +l) никогда не превышает 1, так как g > l . Игра имеет решение в виде чистой стратегии A1 , только если (1 − 2b)≥ (1 −l), как показано на рис. 3.3, а.

Это соответствует условию l ≥ 2b . Из рис.3.3, б видно, что если (1 −l)> (1 − 2b), т.е

56

Алгоритм.

Исходные данные: l, g,b, p (может в задании отсутствовать).

1.Начало.

2.Если в задании есть p , то выполнить 3, иначе перейти к 4.

3.Выполнить следующие операции.

3.1.Вычислить a1 =1 −b + p(b −l).

3.2.Вычислить a2 =1− pg .

3.3.Если a1 > a2 , то принять решение A1 и перейти к 5.

3.4.Если a1 < a2 , то принять решение A2 и перейти к 5.

3.5.Если a1 = a2 , то принять решение A1 или A2 и перейти к 5.

4.При неизвестном p выполнить следующие операции.

4.1.Если l ≥ 2b , то принять решение A1 и перейти к 5.

4.2.Если l < 2b , то принять смешанную стратегию хирурга со следующим соотношением частот применения стратегий A1 и A2

проводить ли срочную хирургическую операцию, если для этих двух состояний

a1 > a2 , то принимается решение A1 проводить срочную операцию.

Пример 3.4. Решить задачу, сформулированную в вышеприведенном примере при условии отсутствия данных о вероятности p .

Согласно вышеописанному алгоритму, так как l < 2b , то принимается смешанная стратегия хирурга с соотношением частот чистых стратегий A1 и A2

F((A1 ))= 0,4 −0,03 = 7,4 .

F A2 0,08 −0,03

58

Пользуясь формулой (3.6), получаем решение в виде смешанной стратегии хирурга

Таким образом, F(A1 )/ F(A2 )= 0,4 и хирургу надо почти в два раза чаще применять отказ от операции, чем оперировать больного.

3.5. Минимизация риска хирургического вмешательства в онкологии

Злокачественные опухоли — это неуклонно прогрессирующее заболевание с безусловно плохим прогнозом. Будем рассматривать только те из них, при которых нет конкурирующих методов лечения, а рекомендуемое хирургическое вмешательство сопряжено с непосредственным хирургическим риском. Последний может выражаться в виде послеоперационной летальности q , которая в случае онкологических заболеваний зависит от локализации опухоли и характера заболевания и нередко достигает 20-40 % [8]. В этом случае клиническая операбельность — величина, равная вероятности выживания больного в случае успешного выполнения радикального вмешательства при резектабельной опухоли,

равная (1 − q). Она оценивает возможность больного перенести в данном лечебном учреждении показанную ему тяжелую радикальную операцию по поводу рака, выжить и быть выписанным. Рассматривая тактику хирурга при неосложненных опухолях, буцем решать вопрос о том, предлагать или не предлагать больному радикальную операцию при имеющемся риске, полагая, то она целесообразна по онкологическим соображениям и может быть выполнена технически. При этом в качестве цели радикальной операции при раке рассмотрим максимизацию продолжительности жизни онкологического больного.

В этом случае мы имеем два состояния больного (“природы”): S1 - больной операбелен, S2 - больной неоперабелен; вероятность состояния S2 равна q , а

вероятность состояния S1 - (1 − q). В распоряжении хирурга две стратегии: A1 -

предложить больному радикальную операцию и A2 - отказаться от вмешательства.

Выигрыш хирурга aij обозначим следующим образом: D - математическое ожидание продолжительности жизни данного больного при отказе от радикальной