ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.03.2024
Просмотров: 51
Скачиваний: 0
12
Данная задача ЛП, изложенная в трех различных постановках, решается аналогично той, которая дана в примере 1.1. В случае, если a1 = 60, a2 = 40, b1 = 30, b2 = 20, b3 = 50 ,
|
1 |
0,2 |
0,1 |
, |
|
[сij ]= |
|
0,7 |
1 |
|
|
0,3 |
|
|
|||
эта задача имеет решение
30 |
20 |
10 |
, |
|
[xij ]= |
0 |
0 |
|
|
|
40 |
|
||
полученное также геометрическим способом.
1.4. Разработка комплексной лекарственной терапии Пусть при лечении некоторого больного его комплексный диагноз состоит из
заболеваний D1 , D2 ,K, Dm , проявляющихся одновременно. Для лечения этих заболеваний у врача имеется n лекарственных препаратов
A1 , A2 ,K, An .Эффективность применения единицы препарата Ai для лечения заболевания D j равна сij (эта величина не обязана быть положительной). Кроме полезного (в целом) эффекта, каждый препарат обладает некоторой токсичностью.
Токсичность единицы препарата Ai равна qi . Так как принимая все n препаратов в количествах x1 , x2 ,K, xn , соответственно, мы рассчитываем на получение положительного лечебного эффекта для всех m заболеваний, то эффективность применения всех препаратов для заболевания D j не должна быть меньше некоторой положительной величины b j . Это условие дает систему m неравенств
n
∑сij xij ≥ bj , j =1,K, m . i=1
Условия ограничения токсичности всех принимаемых лекарств имеют вид
n
∑qi xi ≤ Q ,
i=1
где Q - некоторая постоянная величина. Задача формулируется как максимизация суммарного эффекта воздействия принимаемых n препаратов на все m заболеваний, равного
13
m n
L = ∑∑сij xij , j=1 i=1
при сформулированных выше ограничениях.
Данная задача приводится к основной задаче ЛП путем замены ограничений-
неравенств ограничениями-равенствами и введением (n +1) добавочных неотрицательных переменных. Сходная по содержательной постановке задача рассмотрена также в [10]. Вместо лекарственных препаратов в данной задаче можно рассматривать другие лечебные воздействия, физиотерапию, бальнеотерапию, физические нагрузки и т.д., суммарная доза которых также должна быть ограничена.
1.5. Выработка оптимального плана массового лечения
Данная задача взята из [11]. Пусть в результате массовой эпидемии имеется большой контингент больных в количестве N человек, нуждающихся в медицинской помощи. Эти больные находятся в различных состояниях B1 , B2 ,K, Bm ,
соответствующих различной степени тяжести заболевания (рис.1.3). Число больных,
|
|
m |
|
|
находящихся в состоянии |
|
∑N j |
|
, их относительное число |
B j , равно N j |
= N |
|||
|
|
j=1 |
|
|
сj = N j / N . В нашем распоряжении имеется r различных планов лечения этих
больных P1 , P2 ,K, Pr , каждый из которых требует использования n медикаментов.
Наличный запас медикаментов ограничен и равен M1 , M 2 ,K, M n , соответственно.
Пусть xij - относительное число больных, находящихся в состоянии B j , к которым применяется лечение по плану Pi ; абсолютное число таких больных равно xij N j .
Пусть также Aij - эффективность такого лечения, выражаемая в доле выздоровевших
больных, при атом абсолютное число выздоровевших (из класса |
B j , |
к которым |
|
применено лечение Pi ) равно Aij xij N j . Допустим, |
что требуемые |
количества |
|
медикаментов для лечения одного больного типа B j |
по плану Pi |
заданы в виде |
|
вектора γij = (γ ij(1),γ ij(2),K,γij(n) ), причем γij(1) - количество первого медикамента, γij(2) -
второго и т.д.
14
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
|
|
|
Nj |
|
|
|
Nm |
|||
|
|
|
|
Больные |
|
|
|
|
Больные |
|
|
Больные |
|
|||||
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
B j |
|
|
|
Bm |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xij |
xim , Aim ,γim |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
i1 |
, A |
,γ |
i1 |
|
|
|
|
|
|
Aij |
||||
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γij |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
План |
|
||
|
|
|
|
|
План |
|
|
|
|
|
План |
|
|
|||||
|
|
|
|
лечения |
|
|
|
|
лечения |
|
|
лечения |
|
|||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
Pr |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.3 |
|
|
||||
Примем за критерий качества L выбранной системы лечения (т.е. выбранных |
||||||||||||||||||
значений всех переменных |
xij , i =1,K, r; |
j =1,K, m ) |
отношение выздоровевших |
|||||||||||||||
больных к общему числу больных. Тогда |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
m |
r |
|
|
|
|
m r |
|
N j |
|
|
m r |
|
|
|||
L = |
|
∑∑Aij xij N j = ∑∑ |
|
|
|
Aij xij |
= ∑∑qij xij |
(1.14) |
||||||||||
N |
|
N |
||||||||||||||||
|
j=1 i=1 |
|
|
|
|
j=1 i=1 |
|
|
|
j=1 i=1 |
|
|
||||||
где qij = c j |
Aij . |
Так как |
xij |
– относительные величины, то по группам больных |
||||||||||||||
B1 , B 2 ,K, B m должны выполняться равенства |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xij |
=1, |
j =1,K, m |
(1.15) |
||||||||
i=1
Из-за ограниченности запасов медикаментов должны также выполняться неравенства
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∑γij(k )xij N j ≤ M k , |
k =1,K, n . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 i=1 |
|
|
||
Поделив обе части этих неравенств на N , получим |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∑ fij(k )xij ≤ bk , |
k =1,K, n ; |
(1.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 i=1 |
|
|
|
(k ) |
|
N j |
(k ) |
|
|
M k |
|
|
|
|
|
|
где fij |
= |
|
γij |
, bk |
= |
|
|
|
. |
|
|
|
Nk |
N |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
Таким образом, математически задача формулируется так: |
найти |
mr |
||||||||
неотрицательных |
переменных |
xij , которые |
максимизируют |
L |
(1.14) |
при |
|||||
ограничениях (1.15) и (1.16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1.2. Пусть имеется 100 больных, находящихся в трех состояниях |
||||||||||
B1 , B2 , B3 . Число больных каждого вида равно 60, 30 и 10 соответственно. Имеется |
|||||||||||
три |
плана лечения P1 , P2 , P3 , |
которые |
предполагают |
использовать |
три |
вида |
|||||
медикаментов. |
Запасы |
медикаментов |
в условных |
единицах |
составляют: |
||||||
M1 |
=1500, M 2 =800, M 3 |
=1900 . |
Эффективность |
имеющихся |
планов |
лечения |
|||||
задается матрицей А (табл.1.2), |
а требуемые количества лекарств - |
матрицей γ |
|||||||||
(табл.1.3). Нулевые элементы матрицы А , соответствующие прочеркам в матрице γ ,
связаны с отсутствием планирования применения данных планов лечения к соответствующим группам больных в связи с очевидной неэффективностью такого применения.
|
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
|
P |
B |
j |
B1 |
B2 |
|
B3 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
0,8 |
0 |
|
1 |
|
P2 |
|
0 |
0,8 |
|
0 |
|
P3 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
|
P |
B |
j |
B1 |
B2 |
|
B3 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
(0,0,30) |
- |
|
(100,0,0) |
|
P2 |
|
- |
(10,5,5) |
|
- |
|
P3 |
|
(0,10,10) |
(20,10,0) |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
Используя исходные данные, вычислим
c = |
60 |
= 0,6; |
c |
2 |
= |
|
30 |
= 0,3; |
c |
3 |
= |
10 |
= 0,1. |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
100 |
|
|
|
100 |
|
|
100 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Целевая функция (1.14) равна |
|
|
|
|
|
|||||||||
L = 0,48x11 + 0,1x13 |
+ |
0,24x22 + 0,6x31 + 0,3x32 . |
||||||||||||
Ограничения (1.15) и (1.16) для данного примера имеют вид
16
x11 |
+ x31 |
=1, |
|
|
x22 |
+ x32 |
=1, |
(1.17) |
|
x13 |
=1, |
|
|
|
3x22 +10x13 + 6x32 |
≤15 , |
|||
1,5x22 |
+ 6x31 + 3x32 |
≤8 , |
||
18x11 |
+1,5x22 + 6x31 ≤19 . |
|||
Последнюю систему неравенств преобразуем в систему равенств, введя новые неотрицательные переменные y1 , y2 , y3 .
y1 =15 − 3x22 −10x13 − 6x32 , |
|
||
y2 |
=8 −1,5x22 |
− 6x31 − 3x32 , |
(1.18) |
y3 |
=19 −18x11 |
−1,5x22 − 6x31 . |
|
Таким образом, (1.17) и (1.18) образуют систему из 6 уравнений с 8
неизвестными: x11 , x31 , x22 , x32 , x13 , y1 , y2 , y3 . Применим геометрический способ решения. Выберем 2 свободных переменных x31 и x32 . Остальные 6 будут базисными. Выразим базисные переменные через свободные
|
|
x11 =1 − x31 , y1 = 2 − 3x32 , |
|
|
||||
|
|
x22 |
=1 − x32 , |
y2 |
= 6,5 − 6x31 −1,5x32 , |
|
||
|
|
x13 |
=1, |
|
y3 |
= −0,5 +12x31 |
+1,5x32 |
|
Из |
условия |
неотрицательности |
|
базисных |
переменных |
получаем |
||
|
|
x31 ≤1, |
x32 |
≤ −4x31 + 4,33; |
|
|
||
|
|
x32 |
≤1, |
x32 |
≥ 0,3 −8x31 ; |
|
|
|
|
|
x32 |
≤ 0,66 . |
|
|
|
|
|
Графически эти условия изображены на рис.1.4. |
|
|
||||||
Функция цели, выраженная через свободные переменные, равна |
|
|||||||
|
L = 0,82 + 0,12x31 + 0,06x32 , |
|
|
|
|
|
||
|
L' = L − 0,82 = 0,12x31 + 0,06x32 |
|
|
|
|
|||
и основная прямая L' = 0 имеет вид x32 |
= −2x31 . Из рис.1.4 видно, что максимум L' и |
|||||||
L достигается в точке F . Таким образом, решение задачи:
