Файл: Методичка.pdf

22

S0 и Sm , и можно описать шаговые управления, переводящие организм из состояния в состояние, то для оптимизации процесса лечения или нормализации состояния может быть применен метод динамического программирования. С помощью этого метода может быть заранее рассчитана оптимальная траектория перевода организма из S0 в Sm .

В качестве критериев оптимизации, т.е. целевых функций W могут выступать следующие, время лечения (нормализации состояния, выздоровления, вывода из опасного состояния и т.п.), токсичность применяемых медикаментов - "вредность" лечения, его стоимость, вероятность благоприятного исхода, риск осложнений и др. Для реальных задач предпочтительнее использовать одновременно несколько критериев, но это приводит к более сложным процедурам многокритериальной оптимизации. Далее в примерах мы будем использовать лишь один аддитивный критерий - время лечения или нормализации состояния.

Одна из известных задач, рассмотренная в [6,7] под названием выбора наивыгоднейшего пути между двумя пунктами (или наиболее экономного набора скорости и высоты летательным аппаратом), в применении к процессу лечения может быть сформулирована следующим образом. Имеется два заболевания B1 и

B2 , каждое из которых состоит из n последовательных стадий болезни: 1-й, 2-й,..., n -й. Стадия n - это "норма", а стадия 1 - наибольшая выраженность заболевания. За один шаг лечения посредством направленных лечебных воздействий можно изменить (увеличить) стадию только одного заболевания на 1. Условия задачи иллюстрирует рис.2.3, где при n = 5 все возможные состояния пациента задаются узлами построенной прямоугольной сетки. Для задания значений целевой функции на отрезках прямых, соединяющих узлы сетки, должны быть проставлены числа, равные времени перевода организма из состояния в состояние. Траектория перевода организма из S0 в Sm будет иметь вид ступенчатой линии. Требуется найти такую траекторию, при которой общее время лечения будет минимальным. Решение этой задачи рассмотрим в виде следующего конкретного примера.

Пример 2.1. У оператора два показателя жизнедеятельности B1 и B2 вышли за пределы нормы. С помощью управляющих воздействий эти показатели можно привести в норму. Каждый из показателей измеряется в порядковой шкале и

В1

Рис.2.4

Из рисунка видно, что число шагов при переводе организма из состояния S0 в

S8 всегда равно 8. Требуется выбрать такой путь из S0 в S8 , для которого сумма чисел, стоящих на отрезках, составляющих этот путь, минимальна. В соответствии с пп.4,5 и 6 вышеописанной процедуры решения задач динамического программирования и следуя ходу решения таких задач, изложенному в [6], произведем условную оптимизацию, начиная с последнего, 8-го шага. Рассмотрим правый угол нашей сетки (рис.2.5). После 7-го шага организм может находиться

26

промежуточные состояния организма описывались с помощью прямоугольной сетки. В общем случае это не обязательно. Множество состояний и возможные переходы из состояния в состояние можно задать и в виде ориентированного графа. В этом случае задачи управляемого перевода организма из одного состояния в другое можно представить как поиск кратчайшего пути на ориентированной ациклической (т.е. без петель и контуров) сети [12]. Решаются такие задачи точно так же, как и на прямоугольной сетке. Заметим, что использованная нами для решения прямоугольная сетка также является ориентированной ациклической сетью, если на ее отрезках проставить стрелки всех возможных управлений. Ниже приведен пример задачи, описываемой в виде сети.

Пример 2.2. Решается задача управляемого перевода организма G из исходного состояния S0 в конечное состояние S4 (лечение или нормализация состояния оператора). При этом существует 8 промежуточных состояний S1' , S1'' , S1''' , S2' , S2'' , S2''' , S3' , S3'' , а возможные переходы из состояния в состояние изображены на рис.2.8 в виде ориентированного графа. На ребрах графа проставлено время, требуемое для перевода организма из одного состояния в другое. Предполагается, что выбор маршрута переходов их состояния в состояние полностью управляем. Требуется определить оптимальную траекторию перевода организма из S0 в S4 , при которой общее время этого перевода будет минимально.

Рис.2.8

Начнем решение этой задачи с перечисления шаговых управлений, начиная с последнего шага и указывая результат этого управления. Запись xi ={Sk → S j }будет означать, что управление xi (на i–м шаге) переводит G из Sk в S j .