Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

при k - - \ , 2, 3. . . п есть целое число, деля­ щееся на р. Поэтому

k---=r.

% ckF (k) = c0F (0)'+ c,F (!) + . . . + cnF (n) *=--0

есть целое число, не делящееся на р, если р простое и больше |с0|, так как все члены сум­ мы, кроме первого, делятся на р. Таким обра­ зом, убеждаемся в справедливости наших рассуждений об этой сумме.

Рассматривая вторую сумму в равенстве (14), замечаем неравенство

I e~xf М I <

пР 1nJ’tlP . . . П.Р

п(л +1) р—1

(Р=Т)!

(р— 1)1

 

для всех значений х между 0 и п, вытекающее из выражения (15) для f{x) и из того, что 1 при 0 < х < п. Далее находим, что

k

11р~ 1

xf (х) dx

<

о

i(P - 1)! ’

потому что интеграл можно рассматривать как сумму, а модуль суммы не больше суммы мо­ дулей слагаемых. На том же основании получим

&=

k

п(л+1) р—1

 

^ c ke><je-xf(x) dx <

"(р^

р г 2*

k=\

о

 

 

 

откуда

легко заключить,

что

при

достаточно

78 большом р рассматриваемая сумма

будет как

угодно мала, так как

п(п + \) р—\

п(л+1)(р—I)

2р-1пя

(Р — 1)1

(Р — 1)1

П" = 1 р ^ Т ’

где z = пПгХ, и

2р- '

 

 

 

(Р— 1)1

стремится к нулю при возрастании р до оо, каково бы ни было постоянное число z.

Таким образом доказано сказанное выше о второй сумме в равенстве (14) и вместе с тем невозможность (14) и (13).

Немецкий математик Гордан освобождает доказательство Гурвица и от дифференциаль­ ного исчисления. Работа Гордана опирается на элементарное доказательство, которое обходит методы дифференциального исчисления при помощи тяжеловесных приемов формального преобразования. Искусственные функции, введеные Горданом, создают сложную символику, упрощение, им достигнутое, чисто внешнее. Но это доказательство так или иначе доступно читателю, не владеющему дифференциальным и интегральным исчислениями, и поэтому полу­ чило широкое распространение [10].

В 1900 г. Вален сообщает, что размышле­ ние над доказательством Гильберта привело его к чисто арифметически-алгебраическому дока­ зательству предложения Линдемана (трансцен­ дентность к), которое опирается только на самые элементарные соображения (на теорию рядов) и свободно от символики Гордана. Не­ смотря на краткость изложения, это доказа­ тельство довольно элементарно и выгодно от­ личается от доказательства Гордана,

§4. Доказательство существования трансцендентных чисел при помощи теории множеств

Оба рассмотренные метода доказательства существования трансцендентных чисел далеко уступают как по общности, так и по теоретиче­ ской важности методу немецкого математика Георга Кантора (1845—1918), основанному на теории множеств. Существование трансцендент­ ных чисел вытекает у него из теорем о счет­ ности множества алгебраических чисел и не­ счетности множества действительных чисел. Прежде чем перейти к доказательству этих тео­ рем, остановимся на некоторых новых понятиях, которые ввел Кантор.

Под множеством, по Кантору, понимают совокупность, составленную из ограниченного или неограниченного числа предметов, назы­ ваемых элементами множества.

Мы будем рассматривать только такие мно­ жества, элементами которых являются дейст­ вительные числа, взятые в неограниченном количестве. Кантор называет счетным множе­ ством такое множество, когда каждому его элементу можно поставить в соответствие эле­ мент множества натуральных чисел и притом так, что каждому элементу множества нату­ ральных чисел соответствует не более одного элемента нашего множества. Множество поло­ жительных четных чисел представляет пример счетного множества, так как их можно перену­ меровать. Множество рациональных чисел есть

80 счетное множество.

 

Кантор

Перейдем

теперь к

доказательству теорем.

П е р в а я

т е о р е м а :

множество алгебраи­

ческих чисел есть множество счетное.

Для того чтобы доказать эту теорему, не­ обходимо расположить в определенном порядке действительные корни всех алгебраических уравнений вида

С Г. К. Останов

CqX" - f C xX "-1 -Г C%Xn~2+ ...

+ cn = 0 ,

где cQ, Cj, c2, . . . , cn— взаимно

простые числа,

c0> 0, и уравнение неприводимо. Распределяем уравнения по величине так

называемой высоты Я, которая определяется так:

Я = о — 1 -Н с0 | -j- j сг | + . . . -г | сп|.

Затем распределяем числа, соответствующие одной и той же высоте Я, по их величине.

Легко заметить, что определенной высоте Я

соответствует

только

 

конечное

число алгебраи­

ческих уравнений и, следовательно, конечное

число алгебраических

 

чисел.

 

взять

только

Например,

для

Я — 1

можно

п = 1 ,

| с01=

1,

| сг | =

| с21= . . .

=

0,

что

дает

уравнение а = 0. Если

Я = 2, то

получаем

или

о = 1 ,

| с0|

=

2,

| сх | =

| с.г| = . . .

=

0,

что

дает

уже

 

полученное

число

х =

0,

 

или

о = 1 ,

ко | =

1,

| Ci | =

1, | с21= . . . = 0,

 

т.

е. х±Л = О,

или

 

0 =

2,

|с0| =

1,

1^1 = . . .

=

О,

т.

е.

х2 =

0.

Если

Я =

3,

 

то

находим

 

или

о = 1 ,

I с01=

3,

| Cj I

=

. . . =

0, т. е. Зх = 0,

или о =

1,

|с0 | = 2, |сх | = 1, кг I = • • • = 0, т. е. 2х zh 1 =

= О,

 

или

0 =

1,

ко | =

1 > кг | =

2,

кг | =

= . . . = 0, т.

е. х -- 2 =

0, или о =

2, ко I =

2,

кх | = . . . = 0, т. е. 2х2 = 0.

и

другие пред­

Как

последнее

выражение, так

положения, которые можно сделать для Я = 3,

не дают новых,

не

встретившихся

еще уравне­

ний и чисел.

4,

то получим только следующие

Если Я =

новые уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зх ± 1 = 0, х ±. 3 = 0, 2а2 — 1 = О,

 

 

82

+ * - 1 - 1 = 0 , А'2 — а + 1 = 0, а2 — 2 = 0.

 

Образуя из корней всех этих уравнений последовательность по величине Я (при равной величине Я по величине корня) получим сле­ дующую таблицу:

Я

1

2

 

 

3

 

 

4

 

 

О

— 1;

4-1

— 2 ; — - у ;

4 " ; 2

- 3 ; - 1 ,6 1 8 0 3 ... ;

-1,41241...

и

Так

как

данный

прием

можно

применять

дальше

ко

всем

целым

значениям

Я, как

бы Я ни было велико,

то ясно, что

все алге­

браические (действительные) числа могут быть сведены в последовательность, очевидно, экви­ валентную последовательности целых положи­

тельных

чисел.

чисел есть

Итак,

множество алгебраических

множество счетное.

действи­

В т о р а я т е о р е м а : множество

тельных чисел есть множество несчетное. Рассмотрим, например, все числа на сегменте

[0, 1]. Допустим, что их множество будет счет­

ным. Расположим эти числа

 

аъ а2, а:и . . . , а.„ . . .

(18)

так, чтобы каждое из них занимало в этой последовательности вполне определенное место. Каждый член этой последовательности пред­ ставим в виде бесконечной десятичной дроби. Если какое-либо из чисел а обращается в ко­ нечную десятичную дробь, например в 0,23, то эту дробь можно представить в виде беско­ нечной дроби двумя способами: 1) в виде бес­

конечной десятичной дроби с периодом 0, а имен83

6*

Смотрите также файлы