Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

ряда девяток). Найдем теперь две конечные десятичные дроби, например 0,35 и 0,36, кото­ рые отличаются друг от друга только на еди­ ницу второго десятичного знака и будут содер­ жаться между 0 и 1. Итак,

0 < 0,35 < 0,36 < 1.

Далее составим бесконечную десятичную дробь

0,35 Ьффд . . . Ьп. . . ,

где b3, blt ... , bn, . . . — последовательные циф­ ры числа, начиная с третьего десятичного по­ рядка. Наша дробь будет находиться между

отличную от п-й цифры числа ап-ч из (18). Таким образом, получена определенная беско­

вая лишь числа сегмента от 0 до 1, не играет существенной роли. Так, с помощью функции

Из двух рассмотренных теорем Кантора следует, что существует несчетное множество действительных трансцендентных чисел. В самом деле, по первой теореме Кантора, множество алгебраических чисел счетно, а по второй теореме множество действительных чисел нес­ четно.

Итак, установлено не только существование

выделяют множество чисел, к которому при­ надлежали бы все наиболее известные числа,

Можно показать, что множество собственно трансцендентных чисел есть счетное множество. Отсюда следует, что существуют трансцендент­ ные числа, не принадлежащие к этому множе­ ству и ' называемые гипертрансцендентными. Следует заметить, что собственно трансцендент­ ные числа, а в особенности гипертрансцендент­ ные очень мало исследованы, например еще не найдено ни одного гипертрансцендентного числа.

§5. Дальнейшее развитие теории трансцендентных чисел_____

Исследования по теории трансцендентных чисел продолжались и дальше. В 1899 г. фран­ цузский математик Борель (1871 — 1956) своей работой «О природе трансцендентности числа е» дал толчок дальнейшему развитию теории. Он нашел нижнюю границу модуля Р(ё), завися­ щую только от высоты Н и степени п многочлена

сцелыми коэффицентами Р(х).

В1923 г. советский математик Д. Д. Мор- духай-Болтовской (1876— 1952), независимо от Бореля, пришел к аналогичным неравенствам для нижней границы многочлена от е. Отметим, что исследования Мордухай-Болтовского являют­ ся первыми работами, связывающими комплекс­ ное переменное с трансцендентными числами. Кроме того, ученый дал классификацию транс­ цендентных чисел.

Известно, что числа

дентные. Мордухай-Болтовской называет эти числа элементарными основными построениями первого класса. Числа

е°, In a, sin я, . . . ,

где а — трансцендентное построение первого класса, он называет построениями второго класса.

После исследований Эрмита и Линдемана существенных достижений в развитии этой 86 теории не было, если не считать некоторых

упрощений, внесенных в доказательство теорем Эрмита и Линдемана А. А. Марковым, Вейерштрассом, Гильбертом, Гурвицом, Горданом и Валеном, а также работ Бореля и МордухайБолтовского.

В 1900 г. на втором Международном мате­ матическом съезде, состоявшемся в Париже, Гильберт прочитал доклад о проблемах будущей математики. Седьмой проблемой (из двадцати трех) Гильберт поставил следующую (следует заметить, что до Гильберта в 1748 г. Эйлер сформулировал эту проблему, но только в более

мер 2 12 или ег- = (— 1)~‘, числами трансцен­ дентными или по меньшей мере иррациональ­ ными?

Многие из указанных Гильбертом вопросов вскоре были решены, но проблема Эйлера — Гильберта в течение 30 лет так и оставалась открытой. Только в 1929 г. советский математик А. О. Гельфонд дал частичное решение этой

проблемы, доказав, что число а.1^ р , где а — алгебраическое число, не равное 0 и 1, а р >0,— целое рациональное, не являющееся точным квадратом, будет всегда числом трансцендент­ ным.

В 1930 г. советский математик Р. О. Кузь­ мин (1891 — 1949) перенес метод Гельфонда с небольшими изменениями на случай действи­

фонда было бы трансцендентным, в то время как оно есть не что иное, как 2. Следовательно, число lg 2 трансцендентно. Трансцендентными же являются и все иррациональные десятичные логарифмы рациональных чисел».

Теория трансцендентных чисел развивалась и в последующие годы. В этой области было получено много результатов советскими и зару­ бежными математиками [15].