Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рассуждая аналогично, можно сказать, что существует таких два числа

 

 

 

а2 Г (

1

а\

 

, й; 1\т

 

 

 

 

То*)

,

а 0 “1-10 ~ ГР"] - ЧТ0

 

 

 

а2 '.я»

а

 

 

 

 

Й1

 

 

 

 

 

 

 

) <

< 1

 

.+В ± ±

 

 

 

10

 

 

10^

102 /

 

 

102";

 

 

 

!

а о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

следует,

что либо

 

 

 

 

«1

л

а о

 

а = [а0 |- —

W

 

 

 

 

 

 

щ

+,

 

a-i

 

 

ш

 

и тогда

число

а0

 

 

 

есть корень урав-

нения

(1),

либо

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

а < ( а 0

«1

«2+

 

°о-1--ж + лж )

 

 

 

10

1 102/

а

^

 

 

 

ю '

 

ю2! '

и тогда

мы рассмотрим числа

 

 

 

 

 

а°

"кМ

J2.

 

а0+

ai

 

 

io3

 

Ю2

 

10

 

Ю2

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

а0-f 10

 

102 /

 

 

10

102

Тб2"

 

 

и Т. д.

Логически мыслимы два случая: либо най­

дется

натуральное

число

k

такое, что

 

 

 

( °0 -1- 1 1

+

-ygV +

• +

-J&r)

=

а >

 

и тогда число а0 +

jg +

 

 

+

• • • +

-ygir есть ко­

рень уравнения

(1), либо

 

такого числа

не

су­

ществует.

 

что

имеет место

второй слу­

Предположим,

чай. Прежде всего заметим, что каждое

из

чисел

а1г а2, . . .

представляет собой

одно

из

чисел 0, 1, 2,

3,

. .. , 9. Рассмотрим бесконеч-

92 ную

десятичную

дробь

а0,

аг а2

а3 . ..

Эта


дробь есть некоторое положительное действи­ тельное число, которое мы обозначим через я.

Покажем, что а есть корень уравнения (1), т. е. что гт — а. Предположим, что а.т ф а. Каково бы ни было натуральное число п,

а0,

фа.,.. ,ап <

а < а0, ага.2 . .. ап-\

апф 1,

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

,

Оо

 

,

,

ал—1

,

 

 

°0 _г ТО"*- 1 W

 

^

• ■

1

10”- ‘

^

 

~1

jQrt

&<С

4 - iL

+

 

,

ал—1

,

ап

1 10 ^

■ ■ + ю”-* +

1

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

ап- 1. а . «- Г < а <

(а° + i t

 

 

 

+ • ■• 1 ю”- 1

|

Ю” /

 

^

 

^

 

 

 

jh

 

 

 

юл-1

 

ап+ 1 т

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

10”

 

Обозначим

 

 

 

 

 

 

ип _

А

 

 

 

 

 

“1

j_

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

10

1

 

 

 

10”

~

 

 

»•

 

 

 

 

 

 

I

а/г ~l

I

А

 

!

 

^

 

 

а" ' г ТО • • •

 

 

 

 

 

г 10„

лл

 

т- 1Qn

Таким

образом,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< а < А„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ап <

 

 

(^Ап

юл j

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 \»«


Будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- а ]

<

( Ап ~|-

jgn

 

-А™,

 

 

но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Дг+Т07г) — ^ л - ( '

 

 

10"

" (А,

 

 

1 \ т- ' ^ ( л a - _ U m_2А.

 

 

 

 

ДО" /

_г 1Л»

1

 

10" /

 

 

 

 

 

 

+ {An +

1iF ) A r 2 +

A

r \

<

 

 

 

<

1

 

/

 

 

 

1

\m—1

 

 

 

 

jo» •т [Ап +

10л J

>

 

 

 

если мы в квадратных скобках заменим Ап

большим числом

 

^A

_L

 

:_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ri

i

 

10п (

 

 

 

 

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

\ т -

 

 

 

 

| а"1— а | <

от

f/4

1

1

 

 

(2)

 

10" )

 

 

 

10"

\

 

" 1

 

 

Далее,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•^л л-

ю" ~

ао

 

f i _ +

 

 

. +

°n~ 1

1

ап +

1

 

~10

г

 

г

10"-1

1

Ю"

»

но

 

О-п+ 1

^

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10"

 

 

10—1 >

 

 

 

 

 

ап—1 _j_ % _ + i ^ ап—\ I

^

 

 

 

 

10—1

 

Ю" ' ' Ю"-1

'

10" 1

 

 

 

_

 

 

1

^

 

 

1

И

Т. Д.

 

 

94

10л-1

 

10л- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


а поэтому

а0

ai _i_ _£г_

Дд -Г 1

ап+

10 1

102

10

 

+

аг +

•о "Г

 

 

10

 

или

Л- ' |(уг ^5- «0 " i" 1

Следовательно, неравенство (2) можно пере­ писать так:

|a'B- a | < - J r (fl0 -!-

(3)

Однако число п можно выбрать настолько боль­

шим,

чтобы

 

 

 

 

 

 

 

—[р —(ao +

 

l)'n_1 <

| а'и — а\.

 

В самом деле,

какое бы ни

было

положи­

 

 

 

 

т ~ 1

 

 

 

тельное число

ла (До+1У

найдется

такое на-

.

m

 

 

I ат — а I

 

 

 

туральное число п, что

 

 

 

 

 

10” >

 

т(а„ +

1)т -

 

(4)

 

 

 

| а"1а |

 

а в таком случае

 

т(а0+ 1)т—1

 

 

I а'п — а I

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что

противоречит

 

неравенству

(3).

Значит,

а'” =

а, т. е.

а — положительный

корень урав­

нения (1).

Покажем, что уравнение (1) имеет только один положительный корень. В самом деле, предположим, что уравнение (1) имеет два не­ равных положительных корня а и Пусть 95


а > !3. Тогда лт> $ т, т. е. а > а, что невоз­

можно.

Заметим, что справедливость неравенства(4) при достаточно большом п можно было бы

показать

и так: при достаточно

большом

нату­

ральном

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10Л

 

т (ао

___

 

 

 

 

 

 

 

 

1и ^

 

|V" —а I

 

 

 

 

 

Действительно,

 

 

 

т ( а а +

I)"1-1

может

 

число — | ат __fl~j—

быть

представлено

в

виде

конечной или беско­

нечной десятичной

дроби

Ьп, Ьф2 . . .

Так

как

Ь01 >

Ь0,

Ьф.2 . ..

,

то

Ь0

2 > bQ,

Ьфг ...

,

а потому

можно

взять

п = 60-|-2.

101 >

1,

 

Далее,

10" >

п.

В самом

деле,

102> 2 , . . .

Предположим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10* >

к.

 

 

 

(5)

Тогда, умножая

на 10, находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10*+’ >

\0k,

 

 

 

 

но

Ш = k -|- 9k > k - \ k > k

-I- 1. Значит, \0k >

>

к у 1

и

10*+1 >

&+ 1- Но неравенство (5)

верно

для

k — 1.

Таким образом, оно верно

при любом

натуральном

k,

а поэтому

сущест­

вует такое натуральное число п, что

 

 

 

 

 

 

 

1Q„ .

 

ш(аа+ \)т- Х

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

\ а т — а I

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е .

 

Положительный

корень

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т ,—

 

 

 

уравнения (1) обозначается через у а и назы­ вается арифметическим корнем степени т из

96 числа а.