Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

Скачать файл (5,02Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 150

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если р делится на			т	= tj,	то ft~aP —
т ,——	JL		р и	т — натуральные
= у a<nt = а* = ат, где			р и	т — натуральные
числа.					_р
					_р
Если же р не делится на т, то символ а т
понимается	как	арифметический			корень сте-
		т —\
пени т из	числа	ар [у	°Р/•

Если р и т — натуральные числа, то под

символом а т понимается ——.

Степень с рациональным показателем

	Если		п,	р,	k — натуральные числа					и а —
число положительное, то:
	1) "ftарк — \/ ак.						Докажем		это. Обозначим
а =		"ft арк и		р =		У ак. Тогда а.пр — арк и Р" =					ак,
отсюда $пр =				арк		и	а.”р =	$пр.	Если а ф [3,		то
орр zfz рпр,			ЧТо невозможно;
	2) ( fta']P =				fta p. Обозначим ft а = а.					Тогда
ат =		а и	атр =		ар,		откуда	(ар)т= ар. Значит,
аР =		т, —		(т —\р			т----
		у ар	или I		у а )		= у‘ ар\
	з ) У Va = mft а. Обозначим f t а — а.									Тогда
Т / Р г — " у - г										тр/
									а = о.р и	'"Н/ —
у	у а — у а. С другой стороны,									]/ а :
трг—			т ,—		тт				т р ~
=	ftap =		/ а .		Итак, I/ у а =				> а.

7 Г. К. Остапов

Отсюда легко установить правила действий над степенями с рациональными показателями. Если /у и г., — рациональные числа, то:

1) аг>■аг'-’ = аг'+г*\ 2) ао : аг2 = аг'~гк

3) {аг*У‘ г- a'v'X

натуральные числа.	Тогда
т р	п --- п —		nq		----	nq ---
—	п --- п —		nq		----	nq ---
of*. -аГя- — а п a q =	\| ат*\|	ар =		\	amt/ •	\| а/,п =
="$гатч-аРп= Пу а"гч+пр=а			nq	= а п		ч -^аг^ г-.
Аналогично	т		р
	т		р
ar' :ar*= а п			:a q	=
	mq—np				т
= (/' amqnp = а		пЧ =		а п		q = аг'~ ''г

Наконец

тр

= у'атР= ап<1= аГ^г-.

Если хоть одно из чисел гх и г2 отрица тельное, то пользуемся определением

Рассмотрим свойства степени с рациональным 98 показателем:

1) если		а	и	b — числа			положительные,
а п — число		натуральное,				то	J_		_L	если
							а п > Ьп ,
	j_	±						_i_	j_
а > b\ а п — b п ,				если	а = Ь\ а п <				6 л ,	если
а < 6,	что	доказывается				возведением				обеих
частей неравенства в степень п\
2) если х >			1,	то
	.v,	x h		А		x k				(6)
образуют монотонно убывающую последова
тельность, а		если		0 <	х <	1, то последователь
ность (6) будет				возрастающей				и	при	х = 1
все ее члены		равны 1,			а при х =- 0 равны нулю.
Докажем первое положение. Умножим обе
части	неравенства			.v >	1	на	х"	и,	возведя их
в степень		1		получим

					j
				х п > хп+1.
Второе положение доказывается аналогично;
3)	если а > 1 и т — рациональное число, то
а)	ат > 1		при т > 0;
б)	ат== 1 при т = 0;
в)	ат <С 1 при т <					0.
Докажем			первое положение. Допустим т =
— -у-,		где	р	и	q — целые			числа,		_р_
										ат — a q ,
аР >	1, потому что а >						1. Итак,		р_
									а 4 > 1.
Если		0 <	а <		1,	то	ат <	1	при	условии
m >	0; ат =		1,	если		т	= 0,	а	если	/я < 0, то
ат >	1;			1,	то	большему показателю сте99
4)	если а >

пени соответствует					большее		значение' степени,
а	если 0 <	а <		1,	то	большему			показателю
соответствует меньшее значение степени.
	В самом	деле,			пусть р		и	q — два		любых;
рациональных			числа,			причем		р < q.		Тогда;
CjQ					Р положительно, так как, по>
—-	= ач~р. Но а —
ар		I		I	-
предположению,				p < q .		Поэтому,			если	а > 1 „
то	и aq~p >	1,	откуда			следует,			что	aq> а’’.
Наоборот, если				а < 1,		то	и	ач~р < 1,		откуда!
aq < ар. При а =				1	ат =	1.

Степень с иррациональным показателем

Определим выражение аа для тех случаев, когда а — иррациональное, положительное или отрицательное число. Но прежде чем перейти к определению выражения а", необходимо до казать теорему

lirn аа — 1.

а - » О

Положим, что а > 1. Допустим, что а стре-

мится к нулю, принимая значения — , где п —

целое положительное число, бесконечно воз растающее. По формуле суммы членов геоме трической прогрессии находим

2_ п—1 _ .

1 + а " + а " + . . . + а п — —

И - 1

Так как каждое из слагаемых левой части этого 100 равенства, за исключением первого, есть число,