Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 153

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

большее единицы,

то вся

левая

часть больше п,

а поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а —

 

 

> п.

 

 

 

 

 

 

 

"1

 

 

 

 

 

Это неравенство

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

I

_i_

 

 

а -

1

 

 

 

 

\а п —

1

<

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

начиная

с некоторого п,

становится

и продолжает быть менее любого данного поло­

жительного числа

£. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Это

неравенство

показывает, что число 1

есть предел,

к которому

 

стремится

переменное

 

 

j_

 

 

 

 

 

 

 

 

выражение

а п

при

неограниченном

возра­

стании п.

 

 

а

приближается

к

нулю,

Допустим, что

принимая любые

положительные рациональные

значения. Назовем буквою п наибольшее целое

число,

заключенное в

 

 

Это число будет не­

ограниченно

возрастать

 

при

неограниченном

убывании а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимая во внимание, что

 

поду­

чим неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

<

а* < а п ,

 

 

 

показывающие, что 0 < а” — 1 < а п — 1 .

101

Но

I —

1

г по доказанному

сейчас при

| a n — 1 | <

достаточно большом

п.

Следовательно, \аа—

— 1 | < s, т. е. Пт а* = 1.

 

 

Положим

а->0

что

а < 1.

Пусть а =

теперь,

=

где b >

1.

Тогда

 

 

 

а’ =

П т (а'1)

=

__ 1__

 

 

Ь*

«—о

 

 

lim(Ь*)

 

 

 

 

 

 

а -о

что а

 

Предположим,

наконец,

стремится

кнулю, принимая отрицательные значения.

Пусть а =

— Й, где

,й стремится

к нулю, при­

нимая положительные значения. Получаем

П т (а“) = П т (а~-) = Пт ( - 4 - ) = -г- = 1.

а —>0

? -> 0

,S 0 '

'

1

Определим выражение а*. Возьмем произ­ вольное действительное число а > 1. Поставим перед собой следующий вопрос: что надо под­ разумевать подвыражением а’, где а — положи­ тельное иррациональное число?

Пусть последовательность

 

 

^2» •

• • у

• •

•

 

имеет предел о, т. е.

a — lima,., где

ак— ра-

циональное число.

 

/г - > с о

 

 

 

 

которому стре­

Под

а* понимают предел, к

мится

переменное

положительное

выраже­

ние aa’’ при

возрастании к.

 

 

 

 

 

а? —

lim a 1*.

 

 

 

 

 

k—»сю

 

 

 

Если

а <

1, то а — -j-,

где

b > 1.

Следо-

102

 

 

 

 

 

 

вательно, определим степень а*

при

помощи

выражения а? — —

Если а = 1,

то

всегда

ь

если будем иметь

степень

Iя = 1. Наконец,

с отрицательным

иррациональным показате­

лем — а, то эту степень определим

при помощи

равенства

а

Перед нами стоит задача показать, что lim cfk существует. Из определения иррацио­

нального числа как бесконечной непериоди­ ческой десятичной дроби следует, что это число а == а0, aLa., . . . есть предел последова­ тельности десятичных дробей

а„; ап, ар, а0, а ^ , а0, а^м^, . ..

которые мы обозначим соответственно так:

Аналогично можно построить последова­ тельность:

«о “I- Е а0, Qi -[- 1; ао, a^a2 ~г Е ■• • >

которая также имеет пределом а.

Члены этой последовательности обозначим через

а.о, а,, 0.2,

Докажем, что

Прежде всего заметим, что

1

ЮЗ

Так как aft< a 0+ 1, то и a I*< a°«+1. Зна-

 

 

1

 

 

 

чит, аак— a k < aa»+1 (a10*— l). Но

при доста-

точно большом k

ft

 

£

 

 

a 10 — 1

< а.о1,4 ,

а поэтому

О < а°к— сГ* < s.

Следовательно,

lim (aa* —

 

 

 

 

k-> хэ

 

— a 0*) = 0.

 

 

 

 

 

Теперь нужно показать, что

существует

хотя бы lim a k. Заметим,

что при любых k

и I

к-*-со

 

 

 

 

 

а"» < а4 , так как

o.k<

a,.

 

 

 

Прежде всего,

если

представить

числа

а “*

и в виде десятичных дробей, то можно утверждать, что при достаточно большом k первые т десятичных знаков у этих чисел соот­ ветственно равны, как и целые части. В самом

деле, при заданном г <

при достаточно

большом k а к < а к < j^ -, что и доказывает

высказанное утверждение. Следует заметить, что при всяком k > k это свойство будет иметь место. Далее, так как

а “* -<

1 < а*к,

то отсюда следует, что

— a*k < a “ft — а к <

104 а это говорит о том, что первые т десятичных

знаков чисел а к и a k+l соответственно равны,

как и целые части. То же относится и к любому

/

числу aai, где I > k, так как а к < а*1< а к. Таким образом, общие десятичные знаки

чисел а к и а к при увеличении k сохраняются. Напишем число, образованное первыми об­

щими цифрами чисел а’° и а*0,

и а \

и и т. д. Получим бесконечную десятич­ ную дробь, равную некоторому рациональному или иррациональному числу А.

Пусть s < Очевидно, при достаточно

большом k

\ а к— А I <

так как числа а к и А имеют при достаточно большом k первые т десятичных знаков общих, как и целые части. А это значит, что

 

lima** =

А.

 

 

к-+оо

 

 

 

Отсюда следует, что Пт а к существует и также

равен

к - ос

 

 

А.

 

 

 

Легко видеть, что если 3/; есть любая по­

следовательность рациональных чисел, имеющая

пределом а, то Пт а'1* =

А.

Это следует

из

того,

к оо

большом k

 

что при достаточно

 

-< а*,

а поэтому

 

 

 

аа*<; а?к < а к и ар* <

а к < а к— а"*.

105

Значит,

lim

(а3* — а к) = 0,

и

так

как

 

 

к -+со

 

 

 

 

lim a k =

А,

то Нш а3* = А.

 

 

 

fz —> со

 

fc —*■со

 

 

 

Итак,

lima”*

существует

или,

что

одно

к- » со

ито же, существует lim a k.

“а-**

Займемся сейчас обобщением тех положе­ ний, которые были доказаны для рациональ­ ных показателей на иррациональные показатели.

Если в выражении а* показатель а стре­ мится к нулю, принимая действительные зна­ чения, то само выражение стремится к единице.

Предположим, что показатель а есть число

положительное, и обозначим

> п, откуда

1 > т , л < — . Очевидно, что

la*— 11< Iа п— 1

Но при неограниченном убывании а число п неограниченно возрастает. Следовательно,

а п — 1

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

|а» — 1| < з ,

 

что и требовалось доказать.

 

 

Если

показатель

a — число

отрицательное,

то, положив a =

— р,

найдем

 

 

lim a* =

lim-4r —-----7-^r- = 1.

106

a-»o

u o f l 1

lim0(a

)

Смотрите также файлы