Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если последовательность

Х\, х2, . . .

действительных

чисел стремится к пределу а,

то последовательность

 

 

ах\ ах\ . . .

 

стремится к пределу а*, какие бы

ни были

рациональные

или иррациональные

значения

хъ х2, . . . и а.

Предел а может быть числом рациональным и иррациональным. Ограничимся случаем, когда

а. >

0. Обозначим в случае

иррационального

а через а,, и ak приближения

с точностью

В

случае а рационального

положим ak =

1, 1

-а - — , а* = а + х .

Члены последовательности

* 2 .

при достаточно большом k удовлетворяют нера­ венствам

Ч < xk < «*•

Отсюда получим при а > 1

a k < аЧ < а к.

Значит,

0 < axk — а к < а°к— а к

и

lim {а к— a k) = 0. k~*oo

Но Нш a k = А, а поэтому k -ОО

Нш а* — lima** =

А.

k-* УО

107

1 аким образом, lim ах — аа, каковы бы ни

X-' а

были числа последовательности, сходящейся к а. Это свойство показательной функции назы­ вается непрерывностью.

Отсюда легко установить правила действий над степенями с любыми действительными по­

казателями:

1) покажем что аа-а? = аа+?, где а иР — дей­ ствительные числа. Если и и р — рациональные

числа, то это свойство

верно.

иррациональ­

Предположим,

что

 

а — число

ное,

а [3— рациональное.

Пусть

гь

г2, г3, . . .

есть

последовательность

рациональных чисел,

имеющая предел а,

т.

е. \ \ m r k — o..

 

Так

как

числа

гк

k —ОО

 

 

и

р рациональные, то

а к-а? =■ а к+?. Но

 

 

 

 

 

 

 

Пт а к■а? — a? lim а к — а3lim а к =

а?■аа,

k -оо

 

h—*со

 

 

rk~**

 

 

 

Пт а к+? — lim а к+? = П та'’1+? =

аа+?.

 

fe--oo

 

rk~*a

 

 

 

/'/г+ р-*,а+3

 

Итак,

 

 

а?-а? =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

оба

числа а и р

иррациональные, то

 

 

 

 

а к-а? = а к+?

 

 

• в силу

только

что

доказанного

(гк— рацио­

нальное число, а

р — иррациональное). Но

lim а к ■а? — a? lim а к = а?аа и lim а к+^ =

откуда

 

 

а’ ■а3 — аа+3;

 

2) покажем, что а*:а? — а

 

Так

как

а-3 =

Д -, а а3 =

—Ц-, то а1 : а3 =

 

аа

 

еГ

а ■

=

=

аа• а-3 = а“_3, откуда

 

 

а 13

 

 

аа: а3 = а*-3;

3)теперь покажем, что (а")3 = а“3.

Предположим,

что а — число

иррациональ­

ное, а р — рациональное.

Тогда, если

lim rft =

 

 

 

 

(аГ/!У =

 

 

 

k —СО

— а, то из

равенства

а'-*'1

следует,

что

П т(аг*)3 =

Пт а *13

или

(П таг*] =

Пт

а к'\

rt - a

а“3.

 

 

 

Ч ~ а

’

 

 

т. е. (а“)з =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если а — число

рациональное,

а

р — ирра­

циональное,

то

построим

последовательность

pit 82, . . . ,

предел

которой 3.

Тогда

 

 

(аа)р* =

а"'3* lim (а“)р* =

lim а**5*

 

или

 

 

3*"*3

 

 

3* ^ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пш (а“)3* =

lim аа?*>

 

 

 

т. е.

3*^ 3

 

 

3а~ 3

 

 

 

 

 

 

(а“)3 =

а“3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наконец, если

а и р

— числа

иррациональ­

ные, то из

равенства (ar*)3 =

a k? следует

 

lim (аг*У — lim a k'J‘, т.

е.

(а“)3 — а"3;

 

гА—а

 

—а-3

 

 

 

 

 

109

4) если число а больше (меньше) единицы, то степени его возрастают (убывают) с возра­

станием

показателя.

число

а больше (меньше)

Положим,

что

единицы,

и

пусть

р > q,

где р

и q — числа

рациональные или иррациональные.

Тогда

но р — q > 0. Следовательно, ap~q будет больше (меньше) единицы, а поэтому ар > aq, если а > 1, и ар < а'', если а < 1 .

§ 2. Показательная функция

Если а больше нуля и не равно 1, то выра­ жение ах при любом действительном значении .v будет действительным числом. Функция ах при а > 0, определенная при любом действительном значении х, называется показательной.

Так как при а — 1

ах =

1 при любом х, то

функция

при а — 1 не

рассматривается

как по­

казательная.

 

некоторые

свойства

Ранее

мы установили

показательной функции у = ах. Докажем теперь,

что если а >

1, то

lim ах =

+ оо и lim

ах = 0.

Если 0 < а <

1, то

X -{-оо

х-+ — оо

+ ск..

lim ах =

0 и lim

ах =

Пусть а >

 

х -I- о о

х~*— оо

 

1 и п — натуральное число. Тогда

ап—- 1 = (а — 1) (ап~] Д а"-2+ . . .

a -,L 1),

но

 

 

 

 

 

110

а п ~ \ - U а п - 2 л _

_ _ _ а_ j__|_ 1 >

л>

поэтому

а'1— 1 > (а — 1) п и ап > (а — 1) п -j- 1.

При достаточно большом п ап будет больше любого положительного числа с. В самом деле,

если п >

Q__ J

то

п(а — 1) > с — 1

или

■ __ j-,

п (а— 1) -у 1 > с, а поэтому и а'1> с.

 

Пусть

х — действительное

положительное

число, большее 1 ,

и

п — натуральное

число,

меньшее или равное

х.

Пусть х > -

тогда

и п > ~ z j ’ так

как

х

п-

Будем

иметь

а" > с, а

отсюда ах > с.

Итак,

при х >

__ t

ах > с.

образом,

ап >

с

будет

превосходить

Таким

любое положительное число с, если х доста­ точно велико, т. е.

 

 

 

lim

ах = ос.

 

 

 

 

х-+ -f- оо

 

 

Далее,

 

 

 

 

 

 

lim

ах =

lim

а~х =

lim

= 0.

х-> — оо

 

^ - > 4 - 0 0

 

х~>-^ос а

 

Если 0 <

а <

1,

то —- > 1.

 

 

 

 

 

 

а

 

 

Итак,

при 0 < а <

1

 

 

lim ах =

lim I —

lim

о

Ж-*+ЭО

 

Л--»+0О '

а ■

X—+ оо

 

ill

Смотрите также файлы