Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 159

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и

1

lim ах — lim

Х~*—со х ——

Докажем теперь, что функция ах может быть равна любому положительному числу.

Пусть а > 1. Обозначим через с какое-нибудь положительное число.

Покажем, что существует единственное поло­ жительное значение аргумента, равное а, такое,

что аа=

с. Иными словами, докажем теорему,

что уравнение

 

 

 

 

ах — с

(7)

имеет единственный

действительный

корень,

если а >

1.

 

 

Пусть

с > 1. Образуем последовательность

 

а0,

а1, а2, . ..

 

Так как числа этой последовательности неогра­ ниченно возрастают, то среди них найдутся

такие а"», а"»+1, что

а"»

с и а°°+1>

с.

Если а ”»

 

= с,

то а0— положительный корень

уравнения

 

(7)

и

часть

теоремы

доказана

(остается доказать единственность).

 

Предположим,

что а"0<

с. Рассмотрим числа

аа\ а

 

I

1

 

,2

 

 

 

,

9

7^0 + 1

 

 

10

 

10

 

 

 

 

ю

 

 

“ о + ТТГ

®о + Тп

 

 

 

 

 

 

Так как

эти

числа

возрастающие,

то

найдется

такая

пара

чисел

«0+ ттг

а

“0+

что

а

|и,

 

 

112 а ”0"1"10 < с и а ”'0+

10

> с.

 

 

 

 

 

Опять,

если

а °

10 =

с, то

а0+ —

есть

корень уравнения

(7).

 

 

 

 

 

 

“0+ —

с,

то

рассматриваем

числа

Если же а '

10 <

,в,+15

 

 

 

 

 

,

«1 ,

2

 

 

о+ ,0+

юг

а ° 2

10| Л “ Г1"

Ю| П 2,

 

 

 

"»+ Тп +

9

 

"0+ " 1+110

 

 

 

10»

 

и продолжаем те же рассуждения. Может слу­

читься, что в процессе рассуждений найдется

а.

/

 

, «I ,

, —

 

с,

 

®0"Г Тп*Т"

• • • " ! * In h

=

тогда

такое число k,

что а

10

10

G£

число а0-f —^ -f . . . + — есть корень урав­

нения (7). Если такое число не найдется, то процесс будет неограниченный, и, как бы ни было велико k, всегда

° « + TR + • •

ak

 

+ . .. + °fe+‘

ш*

с и

10* > с.

 

 

Заметим, что числа аи в2,

. . . — целые, неотри­

цательные, меньше 10.

 

Напишем бесконечную десятичную дробь

 

010)

а 1а 2а 3

• • •

Эта дробь определяет действительное положи­ тельное число

а =

а0, а ^ з . . .

 

Докажем, что

число а — корень

урав­

нения (7).

 

Обо-

Предположим обратное. Пусть аа < с.

8 Г. К. Остапов

значим с — а(а

k—т < у.

10*

Рассмотрим

ность

, "l+l 0’»+', а^0г То” 1

vI 1 При достаточно большом

бесконечную

последователь-

г“1

«ft- 1

“*+>

. , а 0 Тб

10*—1

10*

числа

 

которой

 

уменьшаются,

а

к

предел

равен

а*. При

 

достаточно

большом

число

+ ®.+

 

+а— -

 

будет сколь угодно

близко к а*.

а °

10

’ "

ю*

 

Иными

словами,

,.+ -л+ ... +!* + *

 

 

у,

но

а

 

 

 

1(,г

— а1 <

г — с — а*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

а°

,

 

I

°к+'

<

с,

 

что

10

 

10/г

 

невозможно.

 

 

 

 

 

> с. Обозначим а'1—

Предположим, что а

— с =

 

Образуем

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

"1 I

с2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш "»+Го+

W

 

 

 

 

 

Эта

последовательность

 

возрастает

и

имеет

предел

 

а'\

Получим,

 

что

при

достаточно

 

 

 

к а''- — а

ч.«1

|.

|.^_*

 

__

 

 

 

большом

10

 

 

ш*

<

7,

 

откуда

, л

,

 

.

“*

 

с,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

10

>

что

невозможно.

Итак,

аа= с.

 

 

 

 

 

 

 

с < 1. В уравнении (7)

Предположим, что 0 <

заменим

х

на — /.

Получим

а~( = с,

откуда

а( =

-^-.

Это

уравнение

вида

(7),

так

как

114

—- > 1 и

« > 1. Оно

имеет

положительный

с

а поэтому

уравнение

(7) имеет отри­

корень t,

цательный

корень.

При

с = 1

корень уравне­

ния (7) — нуль.

Докажем, что уравнение (7) имеет един­ ственный действительный корень.

 

Предположим, что существует два различ­

ных корня

я

и 3.

Так

как а Ф [3,

но

а" == с

и

а '1 =

с,

то

а* =

Ф.

Пусть

а >

!3,

тогда

а’- '’ =

1.

Но

при

а — ,3

> 0

ar'~ :i >

1,

и мы

пришли к противоречию.

уравнению

(7),

когда

О <

Обратимся

теперь к

a <

1. Перепишем его так:

 

 

 

Здесь

 

>

1

и уравнение имеет единственный

положительный корень.

 

 

 

что

 

Из доказанной теоремы следует,

каковы бы ни были положительные числа с и а,

найдется

такое действительное

число

л

и при- 115

8*

том единственное, что аа- — с. Это число а называется логарифмом числа с при основании а

и обозначается так: logac.

 

Из определения логарифма следует, что

 

Gl0g«C=

С.

Графики

показательной

функции у — ах при

а > 1 и а <

1 изображены

на рис. 3.

§ 3.

Логарифмическая функция*1

 

 

 

Функция у = loga х при а >

0

и а ф 1

опре­

 

делена

 

при

любом

х >

0 в

 

силу

того, что

 

уравнение

ау = х имеет

при

перечисленных

 

ограничениях

единственный

 

действительный

 

корень.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим основные свойства логарифми­

 

ческой функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) log„ 1 = 0. Это свойство следует из опре­

 

деления

логарифма;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) при а >

1 loga х — возрастающая функция,

 

а при а <

1 убывающая.

 

 

 

 

что

а >

1

 

В самом

деле,

предположим,

 

и хх >

х2 >

0. Обозначим log„ хх =

ух и loga х2 =

 

= уг. Покажем, что

ух >

у2.

Так

 

как хг — ayi

 

и х2 =

аУг, т.

е. ау* > аУг,

то

ау<~Уг> 1 .

 

 

 

Если

бы

ух < у2, т.

е.

 

ух — у2< 0,

то

 

аг/1-у2<

 

1,

и если бы ух =

г/2,

то ау*-у*= 1, что

 

невозможно,

а поэтому ух > г/2.

 

 

 

 

 

Аналогично можно показать, что при а < 1,

116

если хх>

х2, то следует свойство logrt хх < logn х2;

3)

при

 

a > 1

loga x >

0,

если

х >

1,

Смотрите также файлы