Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

и loga х < О, если х <

1. При х = 1

loga х — О,

но так как loga x есть

возрастающая

функция,

Аналогично, если а <

1, то logax >

0 при х < 1

и logax < 0 при х >

1;

+ о о и Пт logax =

4) при а > 1

lim loga x =

= — о о .

При

a < l

ЛГ—^О

limlogax = — с о

и lim

loga х =

х—*"

СО

и

с — сколь

+

с о .

Пусть а >

1

Х-*—ОО

положительное

число.

Если

угодно

большое

х > ас,

то в

силу

того,

что

loga х

есть

возра­

стающая функция,

logaх >

loga ас,

т. е. logn х >

с,

а это означает,

что

lim

loga x =

+

ос.

X->+°°

loga х < — с,

Если 0 < х <

то

а

по­

этому

lim loga х =

— о о .

Так

как

loge x =

= — logjX (в силу определения

логарифма),

то

а

при 0 < а <

1

lim log„x — — lim log!X =

—о о

x-*-— CO

И

lim loga x = — lim

l ogi X=

+ o o ;

X~>— ОО

X ——CO

~

5) функция

log„ x

может иметь

значение,

равное любому действительному числу.

Пусть

N — какое-нибудь

действительное

число.

Обозначим

aN =

а.

Тогда

в

силу

опре­

деления N =

loga а;

log„x =

loga a.

6) докажем,

что lim

Х-+а

что lim

logax =

0.

Предварительно покажем,

х—t

117

j

(8)

а1, а2, а 3 , . . .

предел, равный

1, а поэтому lim ах = 1. Так

jc—о

как log^a" =

то отсюда следует,

что

L

== 0 или lim

1

= 0.

lim log,(a'!

log,, a"

fl->OQ

1

a" ->1

Рассмотрим любую бесконечную убывающую

последовательность

а1, а21 «3,

■• •

I

имеющую предел,

равный

1.

Так как последо­

вательность убывающая и

ее

предел равен 1,

Пусть з — сколь

угодно

малое

положитель­

ное число. Тогда при достаточно

большом I

будет

иметь

место

неравенство

< s

или

у

log,, a '

< 3.

что

и

при

любом

I найдется

Покажем,

1

такое число ап, что a

< а1. В самом деле,

пред-

случае ап— 1 а1 — 1. Между тем при

доста-

118 точно большом п ап— 1 должно быть

меньше

любого

положительного

числа,

в

частности

а 1 — 1.

при любом I найдется

ап

Итак,

такое,

что

-L

Тогда

logаап <

j

г.

Так

как

ап < а 1 .

-у- <

ап > ап+ 1 >

ап+2 >

. . . ,

то

при

любом т > п

log,, ап <

s.

Таким образом,

lim log„

=

О

или

loga ап =

lim

0.

J _

J _

L

bt ’

ft* ’

‘ ‘ '

\bn)

HO

lim

log„ (j - )

= 0,

П -» oo

°n !

а поэтому

lim

loga bn =

0.

Пусть теперь

С1> С2> С3> • ■■

(9)

есть последовательность (не обязательно

возра­

что -j—<

е. Т огда-----У >

— е.

Отсюда,

если

а > 1,

то

1

_ 1

агг.

а 1 < (г и а

1 >

Среди

членов последовательности (9) най­

дется

такой

сп,

что

при

всяком

п > т

_ 1

i

что

lim сп =

1.

а

1 <

сп < а 1 в силу того

П —1"ОО

Таким образом,---- *—<

loga с„ < -j- и — г <

<

loga сп< г, или | loga сп| < е, или lim

logac„= 0.

Теперь легко показать,

что

п — СО

lim

loga х = loga к.

л: ’ а

Пусть

мы имеем последовательность

Xl, Х2, Хд, . . . ,

имеющую предел а. Ф 0.

Тогда

последовательность

Xi

Х4

Х3

"

~а'9 1 Г ’

имеет

предел,

равный

1,

а

поэтому

lim loga

=

0. Но

120

logeJJ- = logex„-

- l ° g a a.