ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 158
Скачиваний: 3
Итак,
lim (log„x„ — logaa) = 0.
Далее,
lim log„ a = logacr.
Таким образом,
Рис. 4
Так как логарифмическая функция у — loga х может быть выражена равенством .v = ау, то ее график получится, если возьмем график пока
зательной |
функции |
у = ах и |
оси |
координат |
переименуем: ось Ох назовем |
осью |
Оу, а ось |
||
Оу — осью |
Ох, т. е. |
равенство |
у — ах заменим |
|
равенством л: = ау. |
график |
логарифмической |
||
Таким |
образом, |
|||
функции у = loga х |
имеет вид, |
изображенный на |
||
рис. 4, если оси координат расположить в обыч ном порядке.
121
Глава
Теория логарифмической
ипоказательной функций
вматематическом анализе
§1. Изложение теории
вдействительной области
Вэлементарной алгебре последовательность изложения теории следующая: обобщают пока затель степени сначала на рациональные числа,
азатем на действительные, потом рассматри вают показательную функцию и логарифми ческую функцию как обратную показательной.
При таком изложении теории появляется ряд вопросов, которые остаются не выясненными. Отметим следующие.
Во-первых, у показательной функции у = ах основание а принимается всегда положитель ным. Если бы основание а было отрицательным, то у при целых значениях х принимал бы положительное или отрицательное значение (положительное, если х — четное число, и отри цательное, если х — нечетное число). Если х будет иметь рациональные значения, то у будет принимать даже и мнимые значения, а поэтому мы не получим непрерывной кривой для функ-
122 ции у = ах.
Во-вторых, если берут а > 0, то полагают,
что при рациональном значении х = — (р и q —
р_ __
взаимно простые числа) у = ач = у ар.
Мы видим, что корень имеет q значений (вещественных и мнимых), но если взять только
вещественные значения, то при q четном он имеет два значения (рис. 5), а поэтому здесь условливаются рассматривать только арифмети ческое (положительное или главное) значение корня.
Представляется далеко неясным, почему в этом случае, если придавать х всевозможные вещественные значения, главные значения выше оси Ох будут принадлежать одной непрерывной кривой, а отрицательные значения не будут принадлежать одной непрерывной кривой.
Таким образом, определение показательной функции, а тем самым и логарифма как одно значной функции только для положительных значений аргумента является недостаточно объясненным. Полное освещение всех этих вопросов может быть дано в курсе математи ческого анализа.
В математическом анализе существует два метода изложения теории, а именно: от пока зательной функции к логарифмической и об ратно.
Первый метод изложения теории (определе ние показательной функции при помощи ряда, а логарифмической функции как обратной пока зательной) многим известен, а поэтому целесо образнее рассмотреть второй метод, менее распространенный, но более простой и нагляд ный [16]*.
При изложении теории по второму методу логарифм определяется при помощи интеграла, а показательная функция рассматривается как обратная логарифмической.
Логарифмическая функция
Рассмотрим функцию
*' =/1 £ =«*>
при х > 0. Назовем эту функцию натуральным логарифмом х и запишем у = In х.
Геометрически данная функция будет пред ставлять площадь, которая ограничена гипер
болой у = и осью t с одной стороны и пря
мыми t = 1 и t = X с другой (рис. .6).
* Следуя идее Клейна, А. И. Маркушевич [17] дает элементарное (без предварительного знакомства с понятием интеграла и понятием предела) изложение геометрической теории логарифма, доступное учащимся восьмилетней
124 школы.
Следует заметить, что по определению пло щадь надо считать положительной, если х > 1; отрицательной, если х < 1; при х = 1 площадь исчезает, а поэтому In 1 = 0.
Из определения логарифма следует, что нельзя получить логарифм нуля и отрицатель ных чисел, так как интеграл в интервале, вклю чающем х — 0, будет расходящийся.
Логарифмическую функцию графически можно представить в виде кривой (рис. 7).
Из определения логарифма следует, что
d (In х) |
1 |
dx |
х |
Теперь |
перейдем |
к |
разложению |
функции |
l n ( l - f a ) |
по степеням а. Заметим |
следующее: |
||
|
|
а |
|
|
|
In а = |
j |
u~ldu. |
|
Напишем далее |
i |
|
|
|
|
|
|
||
|
а |
|
а |
|
Jn (l+ a )= J (l+ u)~ 'd u= | [1— и + и2— |
||||
|
о |
|
о |
125 |
— . .. + ( — \)'n~him-• + ( — 1)mum(1 +
/72 x>3
u )-‘J du — a ---- 2—!—3— -
nm
-. . .
a
где Я,„ = |
( — l)"1j мш(1 + u)~hiu. |
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
Если — 1 < a < |
1, to |
|
|
||
|
I о I |
|
|
|
|
I Rm К |
I |
u"‘ (1 — I a \)-]du = |
I a |m+ 1 \(m -j- |
||
|
6 |
|
|
|
|
- |- 1) (1— | a |)]- 1 -> 0 при m->~o. |
|||||
Таким |
образом, |
при — 1< |
a |
1 In (1 -]- a) |
|
можно разложить в сходящийся ряд |
|||||
|
In (1 -i-а) = й - 4 ' Ь т - |
||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
m = l |
|
|
Если а = |
-f- 1, |
то |
|
|
|
|
|
I |
|
1 |
|
| д т | = |
J «т (1 + U)~'du < |
j |
umdu = |
||
|
|
о |
|
b |
|
|
= |
(т + 1)_1 -> 0 при т -+ со. |
|||
Итак, разложение имеет силу |
при a = -f 1, |
||||
а при а = — 1 теряет свое значение. |
|||||
Рассмотрим |
свойства |
логарифмической |
|||
126 функции.
Логарифмическая функция удовлетворяет следующему основному закону:
<р (а ■b) = ср (а) ф ср (й),
где ср (а) = In а, ср (й) = In b и ср (ай) = ]п (ай).
Эту формулу называют теоремой сложения. Доказательство ее базируется на определенном интеграле.
В самом деле,
ab а аЬ
I |
1 |
а |
Теперь заметим, |
что |
|
ab Ь
dt _ j' dt
а1
Это равенство получается в результате преобра зования at' — t переменных интегрирования.
Таким образом,
'Р (ай) = ср (а) ф ср (й).
Из теоремы сложения вытекают следующие равенства:
ср (axa2 . . . а„) = с? (oj) ф ср
ср (а") = пф
п
(а,) ф- . . . Ф ? («„),
(а),
ср(а).
127
Заметим, что логарифм является монотонной функцией, так как значение In л: увеличивается с возрастанием х и уменьшается с убыванием х.
Покажем далее, что логарифмическая функ ция принимает все значения от — со до + оо, когда независимая переменная х проходит через
непрерывное множество положительных |
чисел. |
|||||||
Для |
доказательства воспользуемся равенством |
|||||||
In 2п = п In 2. |
Так как |
1 п 2 > 0 , |
то при х = |
2" |
||||
для достаточно большого значения п |
функция |
|||||||
In х |
будет |
иметь |
какое угодно |
большое |
||||
значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее заметим, что In |
= — п In 2, |
а |
по |
|||||
этому |
можно |
сказать, |
что |
1пх, |
когда |
х, |
оста |
|
ваясь |
положительным, |
стремится |
к |
нулю, |
||||
неограниченно возрастая в отрицательном на правлении.
Показательная функция
Мы установили, что логарифмическая функ ция является монотонной функцией от х и при нимает все действительные значения, а поэтому обратная функция, которую обозначим временно через х = '?(#), будет однозначная, монотонная и определенная для любого значения у. Кроме того, обратная функция будет дифференцируема, так как 1пх — дифференцируемая функция.
Предварительно поменяв обозначения зави симой и независимой переменных, займемся исследованием этой функции ср (х).
Заметим, что функция ср (х) при любом зна128 чении х будет положительна. Далее, так как
