ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 3
логарифм единицы равен нулю, то ср (0) = 1. Из теоремы сложения для логарифма легко полу чается теорема умножения для обратной функции.
В самом деле, |
обозначим через а и Ъ числа, |
|||||||
а через а и ,3 |
два |
других числа, для которых |
||||||
первые |
служат |
логарифмами: |
а — In а |
или |
||||
а = ф (a); |
b = |
In р |
или |
р = ср (Ь). |
Получим |
|||
In (а р ) = |
In а -f- In р = |
а + |
Ь, откуда |
|
|
|||
с? (a - f b) = |
ар |
или <р (а) ср (b) = ср (а + Ь). |
|
|||||
Из последней формулы вытекает основное |
||||||||
свойство |
функции |
у = ср (х). Это |
свойство |
по |
||||
зволяет называть |
функцию ср (х) показательной |
|||||||
и обозначать |
ее |
так: у — ех. Данное |
свойство |
можно сформулировать в том случае, когда
существует число (обозначим его |
через с), для |
||||||
которого \п е — 1 |
или |
ср (1) = |
е. |
Из |
теоремы |
||
умножения можем вывести для |
любого |
целого |
|||||
положительного |
значения п, |
что |
ср (ц) = еп, |
||||
|
|
|
|
t |
\ |
|
т |
а для целых |
значений |
т и п ср [ ^ - ) = е п . |
|||||
Равенство |
ср (/-) в ег, |
выведенное |
для поло |
жительных рациональных значений г, будет спра ведливо и для отрицательных рациональных
значений г, так как <р(г) ■ср ( — г) = ср (0) = 1. Таким образом, функция ср (х) непрерывна
при всех значениях х и совпадает при всех рациональных значениях х = г с функцией ех. На основании этого функцию ср (х) можно обо^
значить через |
ех, |
где х — любое иррациональ |
ное число, так |
как |
ср (х„) = ехп, и на основании |
непрерывности ср (х) |
находим |
|
|
ср (х) = lim ср (х„). |
|
|
|
хп~*х |
9 Г. К. Остапов
Показательную функцию у = ех можно на глядно представить с помощью кривой, которая получается путем отражения логарифмической кривой относительно биссектрисы положитель ного квадранта (рис. 8).
У
Рис. 8
--------0\ |
X |
Производная от показательной функции вы ражается формулой
Мы видим, что показательная функция при дифференцировании не изменяется. Дадим дока зательство приведенной формулы.
Пусть х = In у, откуда ^ а поэтому
на основании правила для обратных функций
получим
dy
~ d x ~ y ~ e -
Отметим, что определение логарифма при помощи квадратуры гиперболы, по словам не
мецкого математика |
Клейна |
(1849— 1925), |
|
является правильным |
источником для |
введения |
|
новых функций. Кроме того, такое изложение |
|||
соответствует истории развития |
логарифмов |
||
и методу, который |
применяется |
в |
высшей |
130 математике.
Изложение теории по этому методу обладает такой же строгостью, как и другие, но проще и на гляднее, так как в данном случае не возникает
затруднений с непрерывностью |
логарифма (он |
с самого начала характеризуется |
как интеграл, |
т. е. как непрерывная дифференцируемая функ ция своего аргумента), а непрерывность обрат ной (показательной) функции вытекает сама собой.
Изложение теории § 2. в комплексной области
Логарифмическая функция
Рассмотрим функцию |
z |
|
|
Рис. |
9 |
причем путем интегрирования может служить |
|||
любая кривая, соединяющая точку 1 |
с точкой |
||
z (рис. 9). |
z — действительное |
положительное |
|
Если |
|||
число х и путем интегрирования |
будет отрезок |
||
[1, х] действительной оси, то w = lnx. |
|||
Если z |
считать произвольным |
комплексным |
|
числом, то |
по определению положим |
w = \nz. |
|
Рассмотрим свойства логарифмической функ |
|||
ции. |
|
|
131 |
9*
|
г |
Функция 1пг = |
Г dZ |
\ X оудет многозначной, |
|
т. е. имеющей в |
i |
каждой точке бесконечное |
множество различных значений, которые соот
ветствуют различным путям интегрирования, |
|||||
соединяющим точки 1 и 2. |
|
|
|||
|
|
г |
|
|
|
Если |
Г dZ |
взятого вдоль |
|||
значение интеграла ) |
|
||||
пути, |
|
1 |
|
|
|
не окружающего нулевую точку (рис. 10), |
|||||
т |
|
г |
Рис. 10 |
||
t |
а |
||||
|
|
обозначим через [In 2], то значение того же интеграла, взятого вдоль пути, окружающего один раз в положительном направлении нуле вую точку, будет
|
|
|
[In г] + 2тсг, |
|
|
|
так |
как |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
j' |
f 4 - = 2 « + [ ln z ] . |
|||
|
1 |
Imal |
1аг |
|
|
|
Здесь интеграл |
^ -Ф- заменен |
через |
2тгг, так |
|||
как |
нулевая |
|
Im al |
|
замкнутого |
|
точка лежит внутри |
||||||
контура, а |
поэтому интеграл |
(‘ |
dZ |
|||
J |
- |
у , взятый |
132 |
Imal |
вдоль этого контура, имеет определенное по стоянное значение, не зависящее от формы контура. Для вычисления его значения доста точно принять за контур интегрирования окруж ность с произвольного радиуса R с центром в нулевой точке. Тогда
- = Re^ , d\ = Rie‘rd'1
и
|
|
|
|
|
d. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
id<p, |
|
|
|
|
|
а поэтому |
|
|
2- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j* _^L = j* idtp — 2ni. |
|
|
|
||||
|
|
|
c |
; |
o |
|
|
|
|
|
Полученное |
число |
2ni есть |
значение |
интег- |
||||||
рала |
Г |
d- |
|
|
|
|
|
|
|
|
,' |
— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lmal |
путь |
интеграла |
делает |
k |
оборотов |
||||
Если |
||||||||||
в положительном или отрицательном |
направле |
|||||||||
нии около нулевой |
точки, |
то |
к значению |
[lnz] |
||||||
прибавляется (или отнимается) число 2тйк. |
||||||||||
Таким образом, при всяком z(z=£0) |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w — |
-ф- = |
In z = |
[In z] + |
2mk, |
|
|||
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
где k — любое целое число.
При z действительном и положительном
одно из значений [lnz] будет |
действительным, |
||
а все остальные мнимыми. |
Это |
действительное |
|
значение |
[lnz] и рассматривается в элементарной |
||
алгебре. |
функция ш = |
In z, |
определенная 133 |
Итак, |
во всей плоскости комплексного переменного г, кроме z -- 0, является бесконечнозначной.
Для того чтобы рассматривать эту функцию как однозначную, нужно выбрать такую об ласть плоскости, в которой нельзя провести замкнутой кривой, окружающей нулевую точ ку. Если мы мысленно разрежем плоскость вдоль отрицательной действительной оси, то любой замкнутый контур, лежащий в такой плос кости, не будет содержать нулевую точку. В этой плоскости функцию w = In z можно рас сматривать как однозначную функцию ком плексного переменного г.
Основные свойства логарифмической функции выражаются теоремой сложения
lnzx + lnz2 = In (z1-z2).
Это равенство в силу многозначности лога рифма следует понимать так: при заданных значениях \nz1 и In z2 одно из значений ln(z1-z2) равно сумме двух первых логарифмов.
Теорема сложения может быть доказана следующим преобразованием:
In zx + In z2 — In zx +
dt
l
z,z2
134
Показательная функция
Из определения логарифма, которое было дано при помощи интеграла, непосредственно вытекает, что функция z = / (w), обратная лога рифму, удовлетворяет следующему дифферен циальному уравнению:
Исходя из этого уравнения, можно сразу со ставить разложение функции z = f(w) в сте пенной ряд
z = f ( w) = 1 -ь
Полученный ряд сходится для всякого значе ния w, а поэтому функция z = / (w) будет одно значной с одной особой точкой при W = С О . Итак, функция z — f (w) целая трансцендентная.
Рассмотрим свойства показательной функции. Из теоремы сложения для логарифма вытекает
теорема умножения для обратной функции
f (tWi) • ср (w2) = <р (wt -f W2).
Из равенства
In z — [In z] + 2krd,
где k — 0, |
~h: 1 , ± 2 , |
.. . , |
получим |
|
<p (w -f- 2kni) = |
cp (w). |
|
Таким |
образом, cp |
(w) представляет простую |
|
периодическую функцию с периодом 2« . |
|||
Положив w1 — l |
и ср (1) = е и взяв w2= |
mm
=-j-» гДе —---- рациональное значение, на