ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 154
Скачиваний: 3
основании теоремы умножения получим, что
®(-~ | равно одному вещественному и положи
тельному значению из п |
значений Ует. Уело- |
|||
|
|
т |
|
|
вимся обозначать |
через |
ew = en |
именно |
это |
значение y(w). |
ew обозначает |
вполне |
опре |
|
Таким образом, |
||||
деленную однозначную функцию.
Дадим теперь определение функции aw. От ветим на вопрос, какую функцию нужно пони мать под степенью aw при произвольном осно
вании а?
Сведем функцию aw к функции ew. Выразив
основание а через е, |
найдем |
|
|
|
||||
|
а = |
е1п а, где |
In а = |
[In а] + |
||||
|
- \ - 2 Ы |
(/г = |
0, |
д 1, |
-Z |
2, |
... ), |
|
|
q W __ |
^ l n a'jw — gxv [In а ] . ^2kr.iw^ |
||||||
Таким образом, значения выражения общего |
||||||||
вида aw, |
получаемые посредством |
возведения |
||||||
в степень |
и |
извлечения |
корня, |
не относятся |
||||
к одной |
и той же функции, |
а |
принадлежат |
|||||
бесконечно многим |
функциям |
от |
w, причем |
|||||
различным, из которых каждая однозначная. Здесь могут быть следующие случаи: если w равно целому числу, то все функции равны
между собой; если w равно |
рациональной |
дроби — , где р и q — взаимно |
простые числа, |
то будем иметь q различных значений функ ций, а именно:
Д [|п а ] ^ ы 1 ДЛЯ £ = 0, 1, 2, . . . , <7— 1.
136
Взаключение мы можем ответить на
вопрос, поставленный в начале данной главы, а именно: почему главные значения показа тельной функции выше оси Ох принадлежат одной непрерывной кривой, а главные отри
цательные |
значения этой функции |
не принад |
лежат одной непрерывной кривой? |
|
|
Главные |
значения ( а > 0 и а* |
> 0 ) пока |
зательной функции дают возможность выделить из бесконечного числа функций одно значение функции
[схш] = ewГп °].
В противоположность этому отрицательные
р_
вещественные значения величины а ? , где q — четное, принадлежат совершенно разным из бесчисленных функций, а потому все эти зна чения, вместе взятые, не могут составить одну непрерывную кривую.
V Глава
Методы вычисления логарифмов
§ 1. Метод вычисления логарифмов при помощи ряда
Вычисление логарифмов, особенно с боль шой точностью, представляется для многих учителей, а тем более учащихся средней школы сложной задачей.
Некоторые учителя считают, что вычислить логарифмы можно только при помощи высшей математики, и забывают, что первые таблицы логарифмов (Непера, Бюрги и Бригса) были составлены элементарным способом.
В настоящей главе мы рассмотрим несколько методов приближенного вычисления логариф мов, начиная с метода вычисления логарифмов при помощи ряда. Но так как этот метод уча щимся средней школы недоступен, то мы оста новимся на элементарных методах.
По нашему мнению, вполне достаточно на
уроках во |
время прохождения логарифмов |
|
ознакомить |
учащихся не со всеми методами |
|
вычисления логарифмов, а с одним, |
например |
|
138 с видоизмененным методом Непера |
или с пер- |
|
вым видоизмененным методом Бригса. Некото рые методы можно объяснить учащимся на кружковых занятиях.
Наиболее интересными являются метод Саррюса, непрерывных дробей и второй видоизме ненный метод Бригса.
Рассматривая отдельно каждый метод вы числения логарифмов, мы указываем, в какой форме, объеме может быть использован тот или иной метод.
Прежде чем перейти к непосредственному рассмотрению элементарных методов вычисле ния логарифмов, мы обосновываем, что в об ласти рациональных чисел можно найти при ближенное значение логарифма произвольного (любого действительного) положительного числа.
При помощи логарифмического ряда |
можно |
||||||
вычислить |
логарифм |
|
с любой точностью.* |
||||
Дадим изложение этого |
метода |
вычисления |
ло |
||||
гарифма. |
с логарифмического ряда |
|
|
||||
Начнем |
|
|
|||||
In (1 + х) = |
х |
х2 . х3 |
х1 . |
. . . |
( 1) |
||
1 |
2 |
3 |
Т |
||||
Формула (1) будет справедлива для значе ний х, удовлетворяющих неравенству— 1 < х < 1.
Обычно для вычисления логарифмов этим рядом не пользуются, так как он очень мед ленно сходится. Например, для вычисления In 2 с пятью десятичными знаками нужно было бы
* Логарифм можно еще вычислить с помощью при
ближенного |
вычисления |
определенного интеграла |
(см., |
|
например, |
у Г. М. Фихтенгольца [18]) или теории интер |
|||
поляции |
(см., |
например, |
у Я. С. Безиковича [19] |
или |
М. К. Гребенчи и С. И. |
Новоселова [20]). |
139 |
||
взять в этом логарифмическом ряде более ста
тысяч членов. |
|
|
|
ряд |
(1) |
в такой, |
|||
Постараемся преобразовать |
|||||||||
который бы быстрее сходился. |
Заменим |
в ряде |
|||||||
(1)х на — х. Выражения |
1 + х |
и |
1— х |
будут |
|||||
положительными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
v2 |
уЗ |
|
|
у4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
1п (1 _ * ) = - х - ^ - - ^ - — |
|
|
|
||||||
Если из ряда |
(1) |
вычтем |
ряд |
(2), |
то получим |
||||
In (1 + х) — In (1 — х) = 2 [х -|- |
|
|
|
+ |
•••) |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In |
= 2 х + т + Т |
|
|
|
|
(3) |
|||
Этот ряд справедлив для |
— 1 < |
х < |
1. |
|
|
||||
Положив |
х = |
2п!|_ 1 |
где п |
|
Ь |
2, |
3, |
... , |
|
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (n + 1) = |
1пп + 2 2п + 1 "Г |
3(2/1 -г I)3 |
|
||||||
|
|
1 |
|
. . |
|
|
|
(4) |
|
|
_________ |
' |
|
|
|
||||
|
5 ( 2 n + I)5 |
J |
|
|
|
w |
|||
При помощи ряда (4) можем вычислять нату ральный логарифм любого целого числа, но при условии, если знаем натуральный логарифм предшествующего целого числа.
Положив, например, п — 1, получим
|
1п 2 = 2 М ' 1 |
1 + — - - - ь |
г |
||
|
или |
|
З3 |
‘ * з5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1п 2 — |
1 + |
5-92 |
(5) |
|
н о |
3-9 |
||||
Обозначая |
|
сумму |
п первых |
членов ряда через |
з |
1 |
3-9 |
1 4 - |
. . . -)------------- ----------- |
|
|
5 -9 2 |
(2n ~ \ ) 9 n~ \ |
|
а начиная |
|
с п |
1, через |
|
|
_2 |
К |
~з ( 2 п + 1 ) - 9 п + |
находим 1п 2 = Sn ~\ - Rn.
(2п -|- 3) Э ^ 1
Если |
в |
Rn заменим 2п + |
1 ,2п -f 3, . . через |
|||||
2п -f- 1, то дробь увеличится и получим |
||||||||
р , |
2 |
/ |
1 |
1 |
, |
1 |
|
1 . |
< |
3 |
( 2/г -г Г |
9" |
Т |
2 п + Г |
9п+1 ”1“ |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn< |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 (2/1 4- 1) 9” |
|
|
|
|
||||
Выражение |
1 |
|
4~ |
|
+ |
• • • является бес |
||
конечно убывающей геометрической прогрессией,
|
|
|
, |
|
1 |
9 |
а поэтому ее сумма будет равна ------- р- = |
|
|||||
Таким |
образом, |
если |
отбросим |
все члены, |
||
начиная |
с п |
1, |
то сделанная |
погрешность |
||
будет |
|
2 -9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Rn < Т ( 2 п + 1)-9» -8 = |
12 (2 п 4 - 1) 9П— 1 ‘ |
(6 ) |
||||
Теперь можно |
легко |
вычислить логарифм 2 |
||||
с какой угодно точностью. Если в ряде (5) ограничимся восемью первыми членами, то от
суммы отбрасываем |
величину, |
которая, соглас |
но (6), будет |
|
|
1 |
|
|
12 • 17 ■97 |
975725676 < |
108 ' |
Следует заметить, что можно получить еще 141
