ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 3
более точные |
формулы, |
чем |
формула (4). На- |
||
пример, положив в формуле |
|
2 |
|||
(3) х = п3__ д-~, |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
. 1 + п 3 — Зп |
0 |
|
4 |
8 |
+ |
In ---------s |
^ |
|
|
||
|
|
п 3 — Зл л 3 (л3 — Зп)3 |
|
||
п 3 — 3п
или
In
п 3 — Зп + 2 |
|
+ ' |
42 |
+ |
|
п 3 — Зп — 2 |
п 3 |
3 ( п 3 — 3п)3 |
|||
— 3« 1 |
|
Если мы ограничимся первым членом разло жения, то получим формулу
1п |
п 3 — Зп + 2 |
4 |
п 3 — Зп — 2 |
п3 — 3п ’ |
но если заменим
п3— З п ± 2 = (п ±. 2) (п ц: I)2,
то найдем
In (п + 2) = 2 In (п + 1) — 2 In (n — 1) +
|
|
- И п (я - 2) + ^ г4 - зГ - |
|
|
|||
Эта |
формула |
дает для |
In (п 4- 2) |
значение |
|||
с 26 десятичными знаками, если считать, что |
|||||||
логарифмы |
1, |
п — 1 и п — 2 |
известны, при |
||||
этом п > 103. |
|
|
будет |
меньше |
|||
В самом |
деле, погрешность |
||||||
4 2 |
|
1 + |
|
|
4 2 |
|
|
з (п3 — Зп)3 |
(п3 — Зп)3 |
(п3 — Зп)* ' |
|
||||
|
|
|
16 |
|
< |
1 |
|
~ |
Зп (п2 — 4) (п2 — 3) (п2— 1 )2 |
Ю26 ’ |
|||||
142 если п |
> 103. |
|
|
|
|
|
|
Далее дадим формулу для вычисления деся тичных логарифмов. Для того чтобы перейти к десятичным логарифмам, нужно найти модуль перехода от натуральной системы логарифмов
к десятичной. |
Мы знаем, |
что |
М |
t ^ |
. Най |
|||
дем In 10. |
|
|
|
|
|
|
п = 4, |
|
Для |
этого |
положив |
в |
формуле |
(4) |
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
In 5 = |
In 4 -f 2 (-g- + 3.93 |
+ |
5.95 |
+ |
■■ |
|||
но |
|
|
|
|
|
|
|
|
^n2—3 (H 3 -9 |
^ 5 |
92 |
^ |
7 -9 3 |
^ |
|
||
или |
|
In 10 = |
In 2 + |
In 5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In 10 = |
2 (1 -f- 3-^g + |
|
+ ■■•) + |
|||||
+ "§'(1 + Т Г + 5 ^ +
Возьмем сумму восьми членов в этих рядах
и найдем |
|
|
|
In 10 = |
2,30258909, М = |
43489448. . . |
|
Теперь, |
умножая обе |
части равенства (4) |
|
на М, получим формулу |
|
|
|
lg (n + 1) = |
lgn + 2/W 2п + |
1 1 |
3 ( 2 л + 1 ) ! + |
которая является достаточно удобной для вы числения логарифмов. С помощью этой формулы можно вычислить таблицу логарифмов от 1 до 105, для чего достаточно вычислить логарифмы мз
чисел между 104 и 105, а поэтому в последней формуле можем положить 104. Взяв только первый член разложения в этой формуле, найдем погрешность
Rn = 2М |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
< |
|
3(2га |
+ |
I)3 |
5(2га |
+ |
I)5 |
||||
|
|
||||||||
< |
___ ;____ I |
;__ |
|
|
|
||||
|
(2га + I)3 ~ |
(2га + I)1 |
|
|
|||||
3 (2n + |
I)3 |
1 + |
(2га + 1)2- 1 |
(2га + |
Г Л~ |
||||
|
|
1) |
|||||||
(2М заменяем через 1, |
а -у , |
у -, |
. . . — через |
||||||
Выражение |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
[ |
|
1 |
. |
1 |
|
1 |
|
|
|
(2га + |
I)2 Г |
(2п + 1 ) 4 |
|
|||||
есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, а поэтому ее сумма будет равна
(2га + I)2
2- 2га (л + 1) ‘
Следовательно, |
|
|
и / |
(2я+ !)2 |
= |
|
3- 2• 2п (га + 1)(2га + I)3 |
|
12га (га + |
1) (2га + 1) ^ 24га3 ^ |
1013 |
|
(при П — 104). |
|
Итак, применяя формулу lg (п + 1) ss; lg п +
+t для вычисления логарифма, допускаем
погрешность менее одной единицы 13-го деся- 144 тичного знака.
Элементарные методы § 2. вычисления логарифмов
В области рациональных чисел при произ вольном положительном основании, вообще говоря, не существует логарифма произвольного положительного числа. Но мы можем все же найти приближенное значение логарифма произ вольного положительного числа в области рациональных чисел.
Пусть надо определить приближенное зна чение логарифма 3 (с какой угодно наперед
заданной точностью) |
при основании |
10. Если |
не существует такой |
степени 10 с |
рациональ |
ным показателем, которая равнялась бы 3, или, другими словами, не существует степени 10 с целым показателем, которая равнялась бы целой степени трех, то все-таки можно, выбрав произвольное положительное целое число п,
определить положительное |
целое число а |
||
(а может равняться нулю) |
так, |
чтобы |
|
10* < |
3" < |
10*+'. |
|
Из этих неравенств непосредственно следует |
|||
а |
' |
а-р*1 |
|
1о""< 3 < |
1 0 ~ , |
||
т. е. 3 заключается между двумя степенями 10,
показатели |
которых отличаются друг |
от друга |
только на |
а именно на дробь, |
которая |
может быть сделана сколь угодно малой при соответствующем увеличении п. С другой сто роны, выбрав произвольное положительное 145
10 Г. К. Остапов
число гп, всегда можно найти такое положи тельное целое число X, что
Теперь
|
/ А-}- 1 |
__ /_ И ” _ |
(X 4- 1)” — X” |
|
|
|
|
||||||
|
\ т |
) |
|
Vот I |
|
|
|
т " |
|
|
|
|
|
|
1 |
я'/.'1-1 |
|
1 п |
( п — 1) ).”■ |
|
|
= |
|
||||
“ от” |
|
|
+ т - |
|
|
|
-2 + . . • |
|
|||||
|
л ( х |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
п |
|
п — 1 . (* у - |
-1- |
|
||||||
|
m { гп ) |
|
А 2! |
m |
|
m |
\ От / |
|
t |
|
|||
|
1 1 п |
|
л— 1 п — 2 / X л—3 |
1 |
• • |
|
|
||||||
|
3! |
m |
|
/Л |
m |
|
\ |
гп |
|
|
|||
Так как |
Ш |
|
" < |
ш - |
т° |
такжеШ |
а ! < |
ш ’ |
|
||||
п —2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-отI / |
< 10 и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X + |
1Y* |
_х_'я / |
1n | п |
|
1 |
1 . « |
. « - |
1 I |
|
||||
|
|
гп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2_ |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"зг |
|
гп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т-, |
|
п |
|
1 |
, тогда |
п — 1 , 1 |
|
я — 2 , |
< |
||||
Полагаем |
— = х |
— |
< х > |
|
|
||||||||
<,.Х1 |
и т. |
д., |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
3! • |
^2 |
I- ■• ■)■ |
|
|
|
|
|||
146 При |
достаточно |
большом |
значении |
R = |
|
||||||||
можно правую часть неравенства, а следова тельно, и левую сделать меньше сколь угодно малого числа г.
Если положить
, . ' п |
i_ , |
ш= (+) |
+ 8или <10- F,)"“ ^r |
10 = ( ^ ) “- г' ™ ( Ю + 8Г = + ,
то мы можем, придавая достаточно большое
значение R = , достигнуть того, что как о,
так и о' будет меньше сколь угодно малого
числа |
г. |
|
|
|
|
|
|
Из |
неравенств |
10а < Зч < 1СН-1 следует: |
|||||
|
(10 — 3)''< 3"< (10 + |
о')а+1 |
и |
|
|||
|
|
_ |
|
а+1 |
|
||
|
(10 — S)" < 3 < (10 Н- ?/) л , |
|
|||||
|
а |
\ |
|
i±i |
X-I- 1 a + 1 |
||
(10 — о)т = ^ |
|
||||||
) |
и (10 + 3 ') я |
||||||
, |
т ) |
||||||
Их |
разность |
|
н -i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(10 + 3') |
" — (10 — |
о)'1 = |
|
|
||
|
а |
|
а |
1 |
|
|
|
= (1 0 - 3 )T | ( i J ± | l ) T (10 + 5')T |
- |
1 ] < |
|||||
|
< (Ш — S) |
|
+ |
|
1 ], |
||
а^ 1
птак как — < 1, то она меньше
10 -*£±£(10 + o f |
147 |
10+
