Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл (4,77Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 63

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В частности, в цилиндрических				координатах:
1 \д'А г)			дА„	+ г	дА.		•	(48)
div А = —	- 4-		др		дг	J
г	дг	1		1				'

В сферических координатах,

(49)

' '

Пример. В цилиндрических координатах г,							<р, z да
но векторное	поле
А —			lr + г cos з Tv + z sin у lz.
Показать, что		поле соленоидально всюду, где					г =/= 0.
Решение. Вычислим div А по форм. 48. В нашем
случае:
Ar=~;			A<f ~ rcos<f>;		Az	= г sin®.
Поэтому:	Г		(—
div А = —	Г		(—		+ г d(zfn^		=
div А = —		д-~- + ^(70S			+ г d(zfn^		=
г	L		дг	1 д <р	1	дг _

—(0 — /'sin <р + rsin ®) = 0.

Это и означает, согласно определению, что поле соле ноидально.

3°. Вычисление Лапласиана Согласно определению

Дер =; div grad'}/.

(50)

до/

В частности, в			цилиндрических координатах:
		Д'!> = —					1	о2Ь		<52ф	(51)
		Д'!> = —			д>		7		+ r	~dz*	(51)
		1	г		д>		7		+ r	~dz*
В сферических			координатах:
	Д* = 1				<?р /			+	дгЬ	1
		Р2. in О			----------- Sin 6			+	-д—- •	sin О
		Р2. in О			д	р------------- 1			ду2	sin О
					*hrineJ
						00
4° Вычисление					вихря,
Для		вычисления				вектора
rot А	в	криволинейных				коор
динатах		достаточно			найти		его
проекции на направления еди
ничных векторов:					/2; /з.
Вычислим, например, проек
цию	(rot Д)„.		Согласно				фор
муле		«■
муле	(26):		<£	Adr
			<£	Adr
(rot Л)ц = lim				-Ю	.
		O(S)>0		-Ю
В качестве контура L возьмем элементарный прямо-
угольник				в плоскости VMIF с положительным
направлением обхода (см. рис. 42). Тогда:
Lt		MN				AW,				м.м
Вычислим отдельно:
	Л = J		Adr*j			Adr = J			Adr— J Adr.
Пусть:		MN		n'^Mi			MN		мм
Пусть:			Л = Aa7,				A~l^ 4- Awl^,
			Л = Aa7,				A~l^ 4- Awl^,
			dr = T}dsu						T.idsw.
На линиях MN и				MrNx		вектор dr			параллелен ZaПоэто

му на этих линиях;

7\.dr= Avdsv — AvHvdv;

тогда:

7Х = — J AvHvdv + J AvHvdu —

MiNt MN

v-\-dv

= — J [Av(,u, v, w + dw) Hv (и, v, w-\-dw} —

—^Av(u,v,w) Hv (u,v,w)]dv.

Применяя к подынтегральной разности формулу Лагранжа о конечном приращении (по переменному ау)

и к полученному интегралу теорему о среднем значении,

получим:

	v+dv			—	(AvHv)dudw.
= - J ^7				—	(AvHv)dudw.
	V
Аналогичными рассуждениями					получается	значение
интеграла	и	по двум	другим	параллельным		линиям:
NN, и М,М\
J2 =	f	A dr •■]-	f A dr = -4-------fjy
i	I	1	]	1	dv

M.MNNt

Таким образом:

С	д(А H )	du dw	d(AH)	du dw ,
ф A dr = -----т--------			ч--------
j	dv		dw		’
где функции (Aw, Hw),		(AVHV)	берутся	в некоторых
средних точках линий М}М и MN. Проекция					вектора
rot А на направление Zi		будет:
_	у ^иг	1 ------	г------- --------	л	— \dvdw
	£*		dv	dw	I
(rotA)u= lim	-1 ■ = lim---------		„ H ~d—d-----------		=
D(S)-o	D(S)^0		nvnwav aw

где функции (Aw^) и (HVAV) берутся в точке М.

Таким же способом вычисляются проекции rot А на

направлениявекторов /2 и /3:

Как и в декартовых координатах, вектор rotX в криво

В частности, в цилиндрических координатах: