Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 61

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если та же пластинка поставлена к потоку под неко­

торым углом а (см. рис. 12), где а — угол между V и

перпендикуляром к S, направленным в сторону потока, то в этом случае за единицу времени через пластинку

пройдут те и

только те частицы, которые отстояли от нее

в начальный

момент на расстоянии не более V- cosa.

Поэтому поток в этом случае будет

Z7 = VScos« .

Для дальнейшего целесообразно записать эту фор­ мулу в векторной форме. С этой целью, наряду с век­

тором скорости V, рассмотрим вектор

5 = Sn0,

где п0 — единичный вектор, перпендикулярный к пло­ щадке S и направленный в стррону потока. Тог'да поток вектора через площадку S можно представить как ска­

лярное произведение векторов V и S:

П = VS = VScosa .

Определим теперь поток поля произвольного векто­

ра А через поверхность 5 (замкнутую или незамкнутую) (см. рис. 13). В каждой точке поверхности построим единичный вектор нормали пй. Мы условимся при этом:

23

если S замкнутая поверхность, то п0 будем брать всегда

по направлению внешней нормали. Если же поверхность 5 незамкнутая, мы будем брать произвольно одно из двух направлений нормали (оговаривая, конечно, ка­

кое из этих двух направлений мы выбираем), однако так, чтобы векторы п0 во всех точках поверхности лежа­

 

 

 

 

 

ли «по одну сторону» по­

 

 

 

 

 

верхности (см. рис. 13)*.

 

 

 

 

 

 

Разделим

теперь

по­

 

 

 

 

 

верхность

S на большое

 

 

 

 

 

число малых площадок

 

 

 

 

 

AS;,В каждой из площадок

 

 

 

 

 

AS,, выберем

произволь­

 

 

 

 

 

ную точку М;

и постро­

 

 

 

 

 

им в ней вектор nOi.

От­

 

 

 

 

 

несем каждой

точке_ Ж(-

 

 

 

 

 

векторы

AS(. = AS - /г0/. и

 

 

 

 

 

А (Л/,-)

и

составим интег­

 

 

 

 

 

ральную

сумму.

 

 

 

й

_

___

й

 

 

 

 

 

 

nk = £ А (Ж;) AS; = I А (7И;) AS;COS<f>;,

 

где k означает число

площадок

A S,

на которые разби­

та поверхность 5, a

<р,-—угол

между векторами А (М

и AS;

 

 

 

 

_

 

 

 

 

 

Потоком П поля вектора А через

поверхность S на-

* При этом мы, конечно,

 

 

 

 

 

 

предполагаем,

что

S — двух­

 

 

 

 

 

 

сторонняя поверхность. Не вся­

 

 

 

 

 

 

кая поверхность является двух­

 

 

 

 

 

 

сторонней, как это может пока­

 

 

 

 

 

 

заться на первый взгляд. На

 

 

 

 

 

 

рис. 14

изображена

однос о-

 

 

 

 

 

 

ронняя

поверхность

Мёбиуса.

 

 

 

 

 

 

Читателю рекомендуется

по­

 

 

 

 

 

 

строить модель этой поверхно­

 

 

 

 

 

 

сти из бумаги. Для этого надо

 

 

 

 

 

 

взять полоску

бумаги, «закру­

 

 

 

 

 

 

тить» один конец ее относительно другого на 180° и затем склеить концы.

24

зывается предел интегральной суммы Пk, когда каждая площадка ^Si стягивается в точку.

П = lim

k

£ (Л4.)

D(bS. )->0

,=1

(при этом, естественно, предполагается, что этот ппедел

существует независимо от способа

стремления D (AS(.)

к нулю и от выбора точек Мt

. Под символом D( &Sz)->0

мы

всегда подразумеваем,

что

каждая площадка

Д Si

стягивается в точку).

 

 

По аналогии с названиями пределов других извест­

ных читателю интегральных

сумм

написанный выше

предел называют также поверхностным интегра­ лом вектора А по поверхности S и обозначают симво­

лом

или символом

 

s

 

f~AdS,

 

s

если 5 — замкнутая поверхность. Таким образом, по определению:

 

k _

__

_ _

 

П = lim УЛ (ЛЕ) ДЗ, = f f AdS,

 

 

D^S^-0/_1

 

J J

 

где dS = dSn0.

'

 

 

 

Из приведенного определения потока П и из преды­

дущих двух задач легко усмотреть физический

смысл

потока.

скорость течения

 

 

Если А есть

несжимаемой

жидко­

сти, то поток поля вектора А

через поверхность 3 опре­

деляет объем жидкости, протекающей через поверхность

S за единицу времени.

Пусть поле вектора изображено графически так, как

указано во введении. Тогда оказывается, что поток по­ ля вектора через некоторую поверхность S пропорцио­ нален числу векторных линий, пронизывающих поверх­ ность S (т. е. проходящих через поверхность S). Дейст­

вительно, пусть поверхность 3 разделена на площадки

25

Д5г,

и вектор А5/ = Д5,/г»/ перпендикулярен

к ASZ,

тогда в

скалярном произведении

 

 

 

 

 

Л(М,) AS,. = А (MJ Д S,. cos

 

 

множитель

AS,, cos <pz представляет проекцию

площа­

ди

AS,

на

направление, перпендикулярное

вектору А

в точке

Мj.

AS, cos^,- = AS„,.

площадку

При графическом изображении поля через

A Sn: проводится Nt = ЛП А (Л1,) |AS„, векторных линий. Поэтому:

Л (7И,)Ж = | A (7И,) I A S„, = A- N,

и

П = 11m УТШ) АУ = Нщ У1м= 4т Нт УМ =

AS

-О—

AS,-0—1 A

A AS;—О

1

1-1

‘ 1-0

1-0

где W — число векторных линий,

проходящих через по­

верхность S.

поток электростатического по­

Пример. Определить

ля точечного заряда q, помещенного в точке Л1, через поверхность сферы радиуса а с центром в точке М.

Решение. Как известно (см. пример 1 «Введения» стр. 6), поле точечного заряда дается вектором напря­ женности

сг’ •

Согласно определению, П

EdS. В нашем случае

п° = г°; dS = r°dS и поэтому:

Я= ^76dS = qj)^.

s s

Так как интегрирование производится по сфере, на ко­ торой г —а, то:

n-iU-^S-^-W-44.

26

Через любую сферу с центром в точечном заряде

проходит одно и то же число векторных линий. Пример. Найти поток поля радиуса-вектора

А — г = xz 4~ yj -ф zk

через прямой цилиндр радиуса R с центром в начале координат и высоты И (см. рис. 15).

Решение.

S,

S '

Л ‘

6

h.o

в. о

где S6,SH.O,

обозначают соответственно боковую по­

верхность, нижнее и верхнее основание цилиндра, а гп — проекция вектора г на нормаль к по­ верхности.

Из рис. 15 непосредственно усмат­ риваем:

На боковой поверхности: r„ = R.

На нижнем основании: гп =0.

На верхнем основании; rn — Н. Поэтому:

П = JJ RdS + JJ OdS + J J HdS =

S6

Sh.o

S'.o

= RS6 + HSt.o = R2vRH + HvR2 =

 

■=3~W.

 

Пример. Найти поток поля вектора А = (х За) i 4- (x4-2z/4-z) j 4- (4x4-t/)£

через часть плоскости x-]-yA-z—2, лежащую в первом октанте.

Решение. Найдем линии пересечения данной плос­

кости

с координатными плоскостями (см. рис.

16). На

плоскости хоу аппликата z = 0, поэтому х4~«/=2.

Анало­

гично

находим

и две

другие линии y-\-z = 2

и

х4-г=2.

Таким

образом,

нам

требуется вычислить

поток поля

через плоскость треугольника АВС.

27

Будем считать положительным направлением нор­ мали к плоскости треугольника направление от начала

координат к плоскости треугольника:

По =i cos a 4-JCOSp +&COSY .

Тогда

dS = nodS — i cosadS / cos fidS-}-k cos у dS.

A IS = (x — 3г) dS cos a -f-

+ (x-\-2t/-\-z) dS cos p -|~

(4x-[-£/) dS cos я

В нашем случае все напра­

вляющие косинусы положи­ тельны, поэтому

rfScos a = dydz;

dScos$ — dxdz;

dScos у =dxdy.

Искомый поток поля будет состоять из трех поверхност­

ных интегралов

по

площади

треугольника АВС-.

Рис16

П = fC AdS =

С С

(х—3z)dydz A~ [f (x-|-2t/-|~z) dxdz-\-~

ABC ABC

 

ABC

+ уJ (4x-\-y)dxdy. ABC

Каждый из этих трех поверхностных интегралов заменим двойными интегралами по областям, являющимся про­ екциями треугольника на координатные плоскости.

Так, поверхностный интеграл

JJ (х—3z)dydz_

АВС

и двойной интеграл у у (х—3z}dydz отличаются друг от

овс

друга

лишь тем, что в интеграле по ОВС

коопдината

х = 0,

а в интеграле по АВС — координата

х¥=0. Здесь

х зависит от у и z. Эта зависимость определяется урав­ нением плоскости треугольника: x-[-z/-]-z = 2. Так что на плоскости АВС х—2—у—z.

28

Смотрите также файлы