Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf

Это вполне согласуется с нашим непосредственным представ­ лением о неизогнутости прямой линии.

Подобным же образом в точках перегиба

К = 0,

так как в этих точках у" = 0. Следовательно, в точках пере­

гиба кривая как бы выпрямляется.

§ 4. РАДИУС КРИВИЗНЫ

Найдем кривизну окружности радиуса г (черт. 63). Возь­ мем дугу ММ' окружности, стягивающую центральный угол Да. Так как касательные в концах дуги образуют между со­ бой угол Да, равный центральному углу, а величина As дуги ММ' равна гАа, то средняя кривизна дуги окружности бу­ дет равна

К— Аа — 1

■Лср— Дь- г ’

т. е. равна постоянной величине; следовательно, и в пределе получим эту же постоянную величину.

Таким образом, кривизна в каждой точке окружности есть величина постоянная, равная величине, обратной ради­ усу окружности

кривой в некоторый момент с движением по окружности со­ ответствующего радиуса, что в свою очередь позволяет де­ лать выводы относительно ускорения в этот момент.

Для построения окружности, кривизна которой равна кри­ визне кривой в данной точке, вводится понятие радиуса кри­ визны R. По аналогии с (6) радиусом кривизны кривой в не­ которой ее точке называется величина, обратная кривизне кривой в этой точке:

(7)

У"

Исследование изменения кривизны кривой имеет важное практическое значение. При езде на трамвае иногда ощуща­ ются толчки на поворотах, хотя скорость движения вагона в это время оставалась постоянной и обычно кажется, что

путь имеет плавные закругления.

Чтобы понять причину этого явления, заметим, что, как устанавливается в механике, при движении материальной точки ПО' кривой развивается центробежная сила, направлен­

Черт. 63

ная по нормали к траектории. Величина этой силы выра­

жается формулой

mti1 F=s-'

где т — масса точки, v— ее скорость и R— радиус кривизны траектории в рассматриваемой ее точке.

Если бы прямолинейная часть рельсового пути непосред­ ственно примыкала к закруглению, разбитому по дуге круга

(черт. 64), то при переходе на это закругление центробежная сила возникала бы мгновенно, создавая резкий и сильный толчок, вредный для подвижного состава и для верхнего строения пути.

Этот толчок объясняется тем, что на участке прямой АВ

радиус кривизны равен бесконечности, а на участке ВС дуги

хотя при этом направление касательной меняется непрерыв­

но. Вместе же с разрывом непрерывности радиуса кривизны

и сила F будет терпеть разрыв непрерывности, что и вызы­ вает толчок.

А именно: прямолинейную часть пути соединяют с круговой при помощи так называемой переходной кривой (черт. 65).

Вдоль этой кривой радиус кривизны постепенно убывает от бесконечного значения — в точке стыка с прямолинейной частью — до величины радиуса круга — в точке стыка с кру­

ние

При х = 0 имеем y' — Q и R — oo, и рассматриваемая кривая

вначале координат касается оси х и имеет нулевую кривизну.

Внекоторых случаях в качестве переходной кривой при­ меняется лемниската

г2 = a2 cos 2ф.

§ 5*. КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА КРИВИЗНЫ

Круг, касающийся кривой в некоторой точке и имеющий кривизну, одинаковую с кривизной рассматриваемой кривой в данной точке, называется кругом кривизны этой кривой в данной точке.

Круг кривизны способствует лучшему представлению о кривизне кривой в точке, так как скорость изменения напра­ вления у кривой и у круга кривизны одна и та же в данной точке.

Для определения координат центра кривизны (т. е. центра круга кривизны в данной точке) заметим, что:

а) центр кривизны должен лежать на нормали к кривой в данной точке М, потому что окружность круга кривизны имеет в этой точке общую касательную с данной кривой;

Подставляя (*****) в (***), находим

и, следовательно,

1=х-у1±^. (9)

§ 6*. ПОНЯТИЕ ОБ ЭВОЛЮТАХ И ЭВОЛЬВЕНТАХ

Когда точка М(х; у) описывает всю кривую, соответст­ вующая ей точка С(£; ц)—центр кривизны — также описы­ вает некоторую кривую, которая называется эволютой дан­ ной кривой. Таким образом, эволюта данной кривой есть

геометрическое место центров кривизны этой кривой. Сама же данная кривая по отношению к ее эволюте называется

эвольвентой или разверткой.

Уравнения координат центра кривизны можно 'рассматри­ вать как параметрическую форму уравнений эволюты кри­ вой. Для этого, пользуясь уравнением кривой, надо все эле­ менты у, у', у" формул координат центра кривизны выразить через х, который и будет параметром.

Эволюта и эвольвента обладают следующими взаимными

свойствами:

1. Касательная к эволюте является нормалью к эволь­

венте (черт. 68). Например, MN— касательная к эволюте

GH и в то же время нормаль к эвольвенте KL.

2. Разность между длинами нормалей двух каких-нибудь точек эвольвенты равна соответствующей им дуге эволюты.

Например:

дл. — дл. MN = дл.оMMt.

§ 6*] Понятие об эволютах и эвольвентах 105

Указанные свойства эволюты и эвольвенты дают возмож­ ность, имея эволюту, построить эвольвенту.

Рассмотрим в качестве примера построение развертки круга.

Пусть дана окружность радиуса а с центром в начале ко­ ординат:

х2 ф- у2 — а2.

Чтобы ясно представлять задачу построения развертки

круга, выпилим из фанеры соответствующий кружок и при­ крепим его к чертежной доске. Вокруг этого кружка намо­

Черт. 69

таем нить с маленькой петлей на конце. Пусть при полной обмотке петля будет находиться в точке А на оси ОХ. Вста­

вим в петлю острие карандаша и будем, натягивая нить, раз­ вертывать ее. В каждое данное мгновение та часть нити, ко­ торая прилегает к кружку, остается неподвижной. Нить вра­ щается вокруг той точки Т, где она касается окружности, т. е. вокруг центра кривизны кривой. При бесконечно малом вра­ щении карандаш будет описывать бесконечно малую дугу, имеющую ту кривизну, которую имеет кривая в данной точке. Таким образом, карандаш вычертит геометрическое место точек, получаемое развертыванием касательной к окруж­ ности; поэтому получаемая кривая называется разверткой круга или его эвольвентой.

Уравнение развертки круга составляется следующим об­ разом (черт. 69). Возьмем на эвольвенте точку М(х; у) и

108 Основные теоремы дифференциального исчисления [гл. VII

По условию функция f(x) является дифференцируемой в каждой точке внутри промежутка (а, Ь) и точка х — с лежит внутри этого промежутка. Следовательно,

Если /г->Осо стороны положительных значений, то будем иметь неравенство (3), которое даст в пределе

Если же /г->0 со стороны отрицательных значений, то будем иметь неравенство (4), которое даст в пределе

Г(с)>0. (7)

Сопоставляя неравенства (6) и (7) и замечая, что отно­ шения (3) и (4), по предположению, имеют общее предельное

значение, которое не может быть одновременно положитель­ ным и отрицательным, мы с необходимостью приходим к вы­ воду, что должно быть

При доказательстве теоремы Ферма мы предполагали, что функция f(x) дифференцируема в каждой точке промежутка (а, Ь), т. е. график этой функции имеет определенную каса­ тельную в каждой точке. Если же производная в какой-либо точке не единственна (черт. 71) и не кончена (черт. 72), то теорема Ферма может быть не верна.