Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 79

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

14

Производная

[гл. I

Приращением

переменной величины называется раз­

ность между новым

значением

величины

и ее начальным

значением. Так, если

начальное

значение

было х, а новое

х-|-Ах, то приращение переменной х будет Ах («дельта икс»). Здесь греческая буква А есть только символ, обозначающий слово «приращение». Подобным же образом, приращение переменной у обозначается через Аг/. Буква А взята для обо­ значения приращения, чтобы отметить, что здесь мы имеем

дело с разностью (разность — по латыни — differentia).

В качестве примера сравнения приращений

рассмотрим

функцию

(*)

г/ = х2.

Дадим начальному значению независимой переменной х приращение Ах. В зависимости от этого, вместо начального значения функции (*) будем иметь наращенное значение функции, соответствующее наращенному значению перемен­ ной х Ах;

z/ + Аг/ = (х+Дх)2.

(**)

Вычитая (*) из (**), получим приращение функции

 

Аг/ = (х Ах)2 — х2 = 2х • Ах 4~ (Ах)2.

 

Для сравнения приращения функции Аг/ с приращением

независимой переменной Ах возьмем отношение Аг/ к Ах, т. е. разделим Аг/ на Ах;

Л® ==2х + Ах-

Предельное значение этого отношения, когда Ах -> 0, и будет производной данной функции:

Если начальное значение будет

х = 3,

то

Чтобы проследить подробнее, каким образом изменяется отношение приращений Аг/ и Ах, когда приращение Ах будет становиться все меньше и меньше, рассмотрим таблицу 1.

§ 3]

 

Аналитический смысл производной

15

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

X

Дж

х + Аж

У

У + ^У

 

Ду

 

Дж

 

 

 

 

 

 

3

1

4

9

16

7

7

3

0,5

3,5

9

12,25

3,25

6,5

3

0,1

3,1

9

9,61

0,61

6,1

3

0,01

3,01

9

9,0601

0,0601

6,01

Таким образом, по мере уменьшения \х, отношение

принимает значения

6,5;

6,1;

6,01,

7;

т. е. стремится к числу 6, которое, как указано выше, и есть

предел отношения

Ьу

о

значении х=3.

 

при начальном

Теперь мы можем

записать определение произ­

водной.

 

 

 

Производной функции по независимой пе­ ременной называется предел отношения при­ ращения функции к приращению независи­ мой переменной, когда это последнее стре­

мится к нулю.

Аналитически это означает следующее.

Пусть дана функция

 

y = f(x)-

 

 

Определим скорость

изменения переменной у

по сравнению

с переменной х при данном значении последней.

нара­

Дадим независимой переменной х приращение Ах;

щенному значению

независимой переменной

х-)-Ах

будет

соответствовать наращенное значение функции

У~\~ Ay = f (х-ф Ах),

иприращение функции будет

=+ Ах) — f(x).

Отношение этого прирйщения к приращению независимой переменной

Дж

_ f(x + bx)-f(x)

, .

Дж

'

будет, по аналогии с § 1, выражать среднюю скорость изме­ нения у по сравнению с х, при изменении х на величину Ах;

16

Производная

[гл. I

а предельное

значение этого отношения, т. е.

производная

данной функции по переменной х:

 

 

j»-llni

(6)

 

Д£С

 

представляет скорость изменения у при данном

значении х.

Знак ^-читается: «производная от у по переменной х» или

короче: «дэ игрек на дэ икс».

Предельный переход, выражаемый этой формулой, рас­

сматривается как процесс, в продолжение которого прираще­ ние Ах не равно нулю, но приближается неограниченно к нулю. Для указания предельного перехода при нахождении

производной греческая буква А заменяется

латинской

бук­

вой d.

 

 

 

 

 

Знак д^-для обозначения производной пишут также в виде

ах

df(x)

d

.

 

 

 

 

 

 

,

или -j-flx).

 

 

 

dx

dx

v !

 

 

Знак производной

представляет единое целое,

а не

дробь. Своим видом этот знак указывает на

происхождение

производной, напоминая о

том выражении,

пределом

кото­

рого производная является:

 

 

 

 

Так как при вычислении предела (6) мы предполагаем,

что изменяется только приращение Ах, а независимая пере­

менная х имеет какое-нибудь одно из возможных для нее значений, безразлично какое, то, вычислив предел (6), мы получим выражение производной для всякого значения независимой переменной. Таким образом, производная при данном значении х — если существует — представляет

определенное число; если же производная существует при каждом значении х во всем рассматриваемом промежутке, то она является функцией от х.

Необходимо твердо запомнить, что производная от функ­ ции

*/ = /(*)

Аналитический смысл производной

17

по переменной х есть

предел отношения,

а не

отно­

шение

пределов;

так как в последнем случае мы полу-

х

 

О

того,

что оба

чили бы

неопределенное выражение-q~, ввиду

приращения Ду и Дх стремятся к нулю; предел же отношения, т. е. производная, есть вполне определенная величина.

Таким образом,

мы должны сперва образовать отношение

 

„ йу .

конечных приращении-т2- где приращение Дх не равно нулю,

а уже затем переходить к пределу этого отношения.

Кроме знака

для обозначения производной функции

У= 1(х)

вточке х применяют также знак

у', или f'(x)

(читается: «игрек штрих», «эф штрих от икс»); т. е. ставят штрих справа сверху или над буквой, обозначающей функ­

цию, или над знаком функции. Если же функция дана в виде математического выражения, то для обозначения производ­

ной заключают это выражение в скобки и ставят штрих сверху

над правой скобкой.

Знак f'(x) указывает, что производная есть тоже некото­

рая функция от х, которая выведена из данной функции

У = К*).

Как отмечено выше (§ 2), при выводе производной пред­

полагается, что функция f(x) дифференцируема, т. е., что

предел отношения (5) при Дх-> 0 существует независимо от того, как Дх стремится к нулю.

Предел (6) может и не существовать для некоторого зна­ чения х = х0; и тогда не существует и производной при дан­ ном значении х. Если же производная существует, то мы мо­

жем написать [см. Введение

(3)]:

 

+

=f(x)+a,

(7)

где а -> 0, когда Дх -> 0. Отсюда

f (х ф- Дх) — f (х) — [/' (х) ф- а] Дх

и, следовательно,

[Их 4- Ах) - f(x)] ->0,

если Дх-> 0. Таким образом, когда знаменатель дроби (5)

стремится к нулю, то для существования предела необходи-

2

18 Производная [гл. I

мо, чтобы стремился к нулю и числитель этой дроби; а это и выражает непрерывность функции f(x) при данном значе­

нии х.

Итак, если производная существует, то функция непре­ рывна.

Но обратное утверждение неверно: из непрерывности функ­ ции нельзя делать вывода о существовании производной.

Другими словами, непрерывность функции есть необходимое,

но не достаточное условие дифференцируемости функции. Впервые отчетливое различие между непрерывностью и диф-

Черт. 4

ференцируемостью функции было указано великим русским математиком Лобачевским.

Выяснив понятие производной, мы можем написать урав­ нение касательной и нормали к кривой в некоторой точке (черт. 4).

Касательная представляет прямую, проходящую через точку касания М(х;у) к кривой под углом, тангенс которого равен производной /'(х). Поэтому, уравнение касательной будет

y-WWM

(8)

где X и У — текущие координаты.

Нормалью к кривой в некоторой точке называется прямая,

проходящая через эту точку перпендикулярно касательной

в

той же точке. Следовательно, уравнение нормали к кривой

в

точке М (х; у) будет

(9)

У-У = - -^-[Х-х].

§ 4] Общий способ дифференцирования 19

§ 4. ОБЩИЙ СПОСОБ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Действие нахождения производной носит название диф­

ференцирования функции.

что процесс диффе­

Из определения производной видно,

ренцирования происходит в следующем порядке.

1.

Независимой переменной х функции

 

r/ = f(x)

(10)

дается

приращение Ах. Наращенное

значение независимой

переменной х-|-Ах подставляется в

функцию (10) вместо х;

в связи с этим получается наращенное значение функции:

 

i/ +Af/ = f(x + Ax).

(11)

2.

Находится приращение функции Аг/,

для чего из нара­

щенного значения функции

вычитается ее

прежнее значение:

 

Ar/ = f(x + Ax)-f(x).

(12)

3.

Составляется отношение приращения функции к прира­

щению независимой переменной:

 

 

 

ку _ f(x+bx)—f(x)

, .

 

Дж —

кх

■

 

4.

Ищется предел этого отношения, когда приращение не­

зависимой переменной стремится к нулю:

 

Л£="У,Х+*УПХ}-

™

Этот предел и будет искомой производной

 

При помощи этого общего способа дифференцирования выводятся формулы производных элементарных функций.

В качестве примера найдем производную от функции

y = V х.

Имеем:

1.у + \у = V х Д- Ах.

2.\у — У хД-Ах — уг х.

2

 

Дг/ У х + Да? — Ух

х-\-кх — х

_ ______ 1______

Дж

Дж

Д® (Ух Даг-р-/"а?)

Ух-]-кх-уУх

4.

^.= Ит^ = 4=.

 

 

 

dx дх-»о Да? 2у а?

 

 

2*

Смотрите также файлы