Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
ГЛАВА ВТОРАЯ
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Применяя общий способ дифференцирования, можно найти производную любой функции.
Однако для облегчения труда, чтобы не выполнять всякий раз предельного перехода, указанного в общем способе диф
ференцирования, на основании этого способа устанавливают
ся общие правила дифференцирования и выводятся формулы производных элементарных функций. При этом предпола гается, что данные функции дифференцируемы в рассматри ваемом интервале.
Установим сначала общие правила дифференцирования.
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ПОСТОЯННОЙ
Пусть у будет такой функцией от х, которая сохраняет все время одно и то же численное значение С, как бы ни изменя
лась независимая переменная х; тогда будем иметь равенство
У = С.
Когда х получает приращение Ах, функция у не изменяет своего значения, т. е. ее приращение равно нулю,
Аг/ = О.
Но в таком случае будет всегда, каким бы ни было прираще ние Ах, равно нулю и отношение Аг/ к Ах, т. е.
£*=0.
Дж
Если же какая-либо величина всегда равна нулю, то и ее
предел равен нулю:
= 0.
Дл-О^
§ 2] |
Производная |
переменной |
по самой переменной |
21 |
|
Но согласно определению производной |
|
||||
|
|
|
Лл^0Дж |
dx |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
^- = 0, |
(1) |
|
|
||
dx |
- |
4 ' |
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
(С)' = 0; |
|
|
|
||
т. е. производная постоян |
|
|
|||
ной равна |
нулю. |
|
|
|
|
Геометрически функция |
|
|
|||
|
У = С |
|
|
|
|
выражает прямую, парал |
|
|
|||
лельную |
оси |
ОХ (черт. 5). |
|
|
Касательная к этой прямой совпадает с самой этой прямой.
Тангенс угла наклона ее к оси |
ОХ равен 0, а тангенс угла’ |
||
наклона касательной к оси ОХ и есть производная. |
|
||
§. 2. ПРОИЗВОДНАЯ ПЕРЕМЕННОЙ ПО САМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ |
|||
Найдем производную от функции |
|
||
У = х. |
|
||
Давая переменной х приращение Хх, получим |
|
||
у ф- Ху = х + Дх. |
|
||
Откуда |
|
|
|
Ху = Хх. |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
Ьу _ 1 |
|
||
Д® |
’ |
|
|
что в пределе дает |
|
|
|
d(x) . |
(2) |
||
dx |
’ |
||
|
т. е. производная переменной по самой этой переменной равна единице.
Геометрическое значение полученного результата состоит в следующем.
Уравнение
z/ = x
22 Общие правила дифференцирования [гл. II
' есть уравнение прямой, проходящей через начало координат
к
под углом, равным -j-.
Но так как касательная к прямой всегда совпадает с ней самой, то касательная к рас сматриваемой линии
всегда наклонена к оси ОХ
под углом, равным-^-, тан
генс 'которого равен едини це: '
tH- = 1-
А так как тангенс угла наклона касательной ,и есть
dy
производная^2-, то
ах
d (х) _ dx ’
что и найдено выше (черт. 6).
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ПОСТОЯННЫЙ
МНОЖИТЕЛЬ
Пусть
у = си,
где с есть некоторый постоянный множитель, а
и — <р(х).
Если независимая переменная х получит приращение Лх, то функция и получит приращение Ли; поэтому наращенное значение функции у будет:
у-\- Лу = с(и-\- Ли),
откуда
Лу = сЛи,
следовательно,
ку_ с&и
Д® |
д® ■ |
§ 4] Производная алгебраической суммы 23
Переходя к пределу и замечая, что предел постоянной равен
самой постоянной, |
находим |
|
|
|
,. |
йу |
,. |
Ди |
,. Ди |
lim |
= lim |
с -г— = |
с lira -т— |
|
1х-0Дж Дх—О |
|
дх—оЛа7 |
||
или |
|
d (си) |
du |
|
|
|
(3) |
||
|
|
dx |
dx ’ |
|
|
|
|
т. е. производная произведения функции на постоянный мно житель равна произведению производной от этой функции на постоянный множитель.
На основании (3) мы заключаем, что постоянный множи тель можно выносить за знак производной.
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЫ
Пусть функция у задана как алгебраическая сумма огра
ниченного числа других |
функций от |
независимой перемен |
ной х: |
Ц = ф(х), да = ф(х), |
|
и = f (х) , |
||
так что |
|
(*) |
y = u.-\-v— W. |
||
Найдем производную от у по переменной х. |
||
Дадим независимой |
переменной х |
приращение Ах; тогда |
каждая из функций и, v и w получит соответственно прира щение Au, Aw и \w, вследствие этого функция у получит при ращение Аг/; и мы получим
у-\- \у= (« + Au) + (иДAw)— (w-}-Aw). |
(**) |
Вычитая (*) из (**), находим приращение Аг/: |
|
Аг/ = Au + Aw — Aw. |
|
Отношение приращения Аг/ к приращению Ах равно:
|
\у |
\и |
, |
Д« |
Aw |
|
|
|
|
Дх |
Дж "Г” |
Дх |
Дж |
|
|
||
Наконец, применяя теорему о пределе алгебраической |
||||||||
суммы переменных, имеем: |
|
|
|
|
|
|
||
,. |
Дг/ |
,. |
Ди . |
,. |
Ди |
,. |
Aw |
|
lim |
= lim |
-------k lim .------ lim |
, |
|||||
Дх— 0Дж Дх—0^® |
Дх—О |
|
Дх—0Да? |
|||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
d(u-\-v— w) |
_ du . |
dv |
dw |
, . |
dx |
dx ' dx |
dx ’ |
' |
24 Общие правила дифференцирования [гл. II
т. е. производная алгебраической суммы ограниченного числа функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.
Из формулы (4) следует, что действие дифференцирова
ния и действие сложения можно переставлять между собой.
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пусть
y — uv,
где
ы = /(х), ц = ср(х).
Дадим переменной х приращение Ах, тогда
у -ф Ау = (и + Аы) (ц Аи).
Следовательно,
Ау = цАи -}- иАи + АнАу.
Из этого равенства следует, что если и и v — функции непрерывные, то и произведение их y — uv представляет так
же непрерывную функцию, так как если Ах есть бесконечно малая величина, то в силу непрерывности функций пин, Ани
Ац будут также бесконечно малыми |
величинами, а следова |
||||
тельно, и Ау будет бесконечно малой величиной. |
|||||
Разделив обе части найденного равенства на Ах, получим |
|||||
А// |
Ди |
. |
Д« |
, |
Ди Л |
А--- --- |
"л-- Ч-* |
"А----- |
Ь |
А---- |
|
Да? |
Да? |
1 |
Да? |
1 |
Да? |
Переходя к пределу, замечаем, что функции и и v не за |
|||||
висят от Ах и потому, когда |
Ах -> 0, |
сохраняют постоянную |
|||
величину. Пределы же отношений |
|
|
|||
|
\у |
\и |
Xv |
|
|
|
&х ’ |
Д® ’ Даз ’ |
|
по определению, являются производными функций у, и, я по переменной х. Наконец, последний член
Д® ’
содержит бесконечно малый множитель Ау при Ах -> 0 и по
тому стремится к нулю. Следовательно, |
применяя теоремы |
о |
|||
пределе суммы и пределе произведения, получим |
|
||||
d(uv) |
du |
|
dv |
, |
, |
dx |
dx |
1 |
dx ’ |
' |
’ |
или |
|
|
|
|
|
(uv)' = VUr -4 UV', |
(6) |
§ 61 Производная частного 25
т. е. производная произведения двух функций равна второй
функции, умноженной на производную первой, плюс первая функция, умноженная на производную второй.
Разделив левую и правую часть равенства (6) |
на произве |
||
дение uv, получим |
= и' . |
|
|
(uv)' |
у' |
. . |
|
UV |
и "Г" |
у ■ |
' |
На основании формулы (6) легко вывести формулу про
изводной произведения любого числа функций. Пусть
у = uvw.
Считая произведение uv за одну функцию, мы можем приме нить формулу (6), установленную для производной произве дения двух функций:
[(tzv)tv]' — w(uv)' + (uv)of. |
|
Но (uv)' дается формулой (6). Следовательно, |
|
(uvw)' = u’vw + uv'w -|- uvw'. |
(8) |
Разделив левую и правую часть этого равенства на произве дение uvw, получим
(UVW)' |
и' |
I |
V' |
. |
w' |
UVW |
и |
""I- |
V |
' |
w |
Из равенства (8) легко видеть закон образования членов формулы для выражения производной произведения какого угодно числа функций; производная произведения нескольких функций равна сумме произведений производных каждой из. этих функций на все остальные функции.
§ 6. ПРОИЗВОДНАЯ ЧАСТНОГО
Пусть
где
u = f(x), |
v = q>(x), |
|
|
причем |
|
|
|
v =# 0. |
|
|
|
Дадим независимой переменной х приращение Ах, |
тогда |
||
переменные и и v получат приращения А« и Av, |
и перемен |
||
ная у получит приращение Ку. |
Таким образом, |
будем |
иметь |
26 Общие правила дифференцирования [гл. II
Найдем приращение Лу:
м-[-Дгг |
и |
_ vku — мДу |
М~~ v + Дг> |
v |
(v + Д«) v |
Возьмем отношение приращения Ау функции к приращению Ах независимой переменной:
Хи Дг Ху Дж Дж
Дж (г -}- Дг) г
Перейдем к пределу этого
, I и \ d I— \ v /
отношения, когда Ах -> 0. Получим
du dv v-j-----и j— dx dx
т. e. производная частного или дроби равна знаменателю,
умноженному на производную числителя, минус числитель, умноженный на производную знаменателя, все деленное на квадрат знаменателя.
§ 7. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Положим, что переменная величина у зависит от другой переменной и, которая является функцией независимой пере менной х. Тогда переменная у называется функцией от функ ции или сложной функцией независимой переменной х:
y = f(u), гг = ф(х), |
(И) |
или |
|
г/ = /[<р(х)]. |
(12) |
Дадим независимой переменной х приращение Ах; оно вы |
|
зовет приращение Au промежуточной переменной и, |
которое, |
в свою очередь, повлечет приращение Аг/ функции у; при этом,
если Ах ->0, то и Агг -> 0, а следовательно, и Аг/ ->0. Предпо лагается, что функции (П) являются непрерывными и каж
дая из этих функций имеет производную по соответствующей переменной.
Положим
если Агг =# 0, |
(13) |
•Эр |
если Агг = 0.
Так как при Агг -> 0 имеем
то, очевидно,
а -> 0 при Ах 0.