Файл: Гришин Е.П. Основы теории дискретных систем с цифровыми управляющими машинами [учебное пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
Рис.1.13
Формула (1.63) используется при расчете дискретных систем с различными интервалами дискретности. Она позво ляет преобразовывать исходную схему системы с импульс ными элементами, имеющими различные периоды дискретно сти, к расчетной схеме с одним наименьшим периодом дис кретности.
41
Глава П. АНАЛИЗ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
§ I . Передаточная функция разомкнутой импульсной системы
В теории непрерывных систем широко используется понятие передаточной функции, основанное на применении преобразования Лапласа. При исследовании дискретных сис тем используется понятие импульсной передаточной функ ции, основанное на применении модифицированного или обычного Z - преобразования.
Рассмотрим разомкнутую амплитудно-импульсную сис
тему (р и с .2 . 1 |
, а ) , состоящую из импульсного элемента (ИЭ) |
|
и непрерывной |
части с передаточной функцией |
(s) . |
В общем случае импульсный элемент может быть включен между двумя непрерывными частями системы. Однако рас смотрение системы вида, показанного на р и с .2 .1 ,а не приводит к ограничению общности, если учесть, что для линейной системы всегда межне произвести пересчет внеш него воздействия к входу импульсного элемента. Па вход ИЭ поступает непрерывный сигнал f ( t ) ; на выходе импуль сного элемента имеет месте сигнал f ( t ) в виде аынли- тудно-модулированных импульсов. 1 результате действия импульсного оигнала на непрерывную часть системы на вы ходе последней возникает иеярерывный сигнал x ( t )»
Вид импульсного сигнала f(t)% генерируемого ИЭ, может быть весьма различным; импульсы на выходе 1Э мо гу т иметь прямоугольную, трапецеидальную, треугольную,
42
синусоидальную или какую-либо другую форму. С целью по лучения' общей методики расчета передаточных функций им пульсных систем, отличающихся формой импульсов, обычно
S)
Р ис.2.1
делается переход от реальной (р и с .2 . 1 , а ) схемы к рас четной ( р и с .2 .1 ,б ), в которой реальный ИЭ заменяется идеальным импульсным элементом и формирующим звеном (формирователем).
43
Идеальный импульсный элемент, изображенный на схе ме р и с .2 . 1 , б в виде ключа, генерирует импульсы весьма малой длительности и бесконечно больной амплитуды* Каж дый такой импульс при отсутствии модуляции может быть
представлен в виде сР - функции. Отметим, |
что |
функция |
|
(P(i) равна нулю при Ьф О , |
а при t « |
0 обращается |
|
в бесконечность; при этом "площадь" под кривой |
(? (t ) |
||
остается равной единице, т.е » |
|
|
|
СО |
|
|
|
- ©о |
сигнала |
|
|
При действии модулирующего |
|
сигнал на |
|
выходе идеального импульсного элемента £ * (t) будет представлять собою последовательность мгновенных импульсов, "площадь" которых пропорциональна значениям входной ве личины в дискретные моменты времени.
Математически сигнал № записывается в виде
|
f ( < - h |
|
|
(2.1) |
|
|
|
|
|
|
|
**Дв |
dT(t) представляет собою последовательность |
мгно |
|||
венных единичных импульсов (с |
"площадью", |
равной |
едини |
||
ц е), |
отстоящих друг от |
друга |
на период Т |
(р и с .2 .2). |
|
Эта последовательность |
описывается следующим выражением: |
||||
|
|
$ ( t- ir ) . |
С2. 2) |
||
Уравнение ( 2 . 1 ) по существу является выражением, описывающим работу своеобразного амплитудно-импульсного модулятора; при этом несущая представлена в виде после довательности единичных импульсов, а модулирующей вели чиной является входной сигнал fy(t).
Для реальных физических сигналов, которые равны
нулю при t < 0 9 имеет смысл рассматривать последова тельность единичных импульсов лишь в интервале времени от нуля до бесконечности.
»v«l
1 1 I N 1 1 1 1 1
- оо
Модулятор f i t )
/ 1' П Т ,
Рис .2 .2
Всоответствии с р ис.2.1 приведенная непрерывная часть оистемы представляет собою совокупность последо вательно соединенных звеньев: формирователя и непрерыв ной части. Передаточная функция формирователя ^ ^ п р е д ставляет еобов преобразование Лапласа от функции, опи сывающей форму реального импульса во времени.
На #вход приведенной непрерывной части поступает сигнал (j. ( t ) в виде последовательности (Р -функций,
модулированных по площади. |
в виде J 1 - функ |
Реакция системы на входной сигнал |
|
ции называется импульсной переходной функцией (или |
|
функцией в е с а ). Изображение сигнала на |
выходе импульс |
ной системы имеет вид |
|
£ ( s ) ~ |
( 2 . 3 ) |
45
где |
Wn(s) есть передаточная функция приведенной |
|
непре |
|
рывной части системы, X(s) жfjTfs) |
- изображения |
по |
||
Далласу от функций OC(i) и д ( i ) . |
Если учесть, |
|
что |
|
изображение (Р - функции |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
< 2 .4 ) |
|
хо |
изображение выходного сигнала при действии такого |
|||
сигнала будет |
|
|
|
|
|
L { x ( t ) } = L { < * J t ) } = W n (s). |
(2.5) |
||
|
с |
|
|
|
|
Следовательно, передаточная функция приведенной |
|||
непрерывной части является изображением по Лапласу для
функции веоа |
• |
|
Найдем выражение для сигнала на выходе |
приведен |
|
ной непрерывной части oc.(i) при действии на |
ее входе |
|
#- |
• Так как система является линейной, то |
|
сигнала g ( t ) |
||
выходная величина на основе использования принципа су
перпозиции |
может |
быть получена |
следующим образом |
|
|
(р и с .2 .3 ) . |
Если предположить, |
что |
до приложения |
вход |
|
ного сигнала д |
(tj , т . е . при |
t • |
0 , приведенная |
не |
|
прерывная часть системы не обладала начальным запасом виергни, то в интервале 0 < t ' < T выходной сигнал
х(*)ш?(в)н(*); |
Сг*6) |
аналогично в интервале 7 « t < В Т |
|
x(t)= g (o )b > n ( t ) y ( T ) * £ ( t - T J j |
(2 * 7 ) |
46
в интервале |
2 Т ^ |
З Т |
|
x ( t ) = ?(o)b/„(t)+p(T)*in( t - T ) + f ( 2 T |
) u r J t - s T ) ( 2 . 8) |
||
и т .д . Общее |
выражение для o c (t) при |
L T ^ t< ( t + fJ Т |
|
Живет вид |
|
|
|
|
|
|
( 2 . 9 ) |
Р ис.2 .3
47
Применяя к ( 2 . 9 ) операцию модифицированного Z -пре образования, на основании теоремы об умножении изобра жений получим
|
|
X(aLfi)= W ( 3L}6 )G(z). |
(2.10) |
|||
Выражение |
(2 .1 0 ) |
позволяет определять Z& - |
пре |
|||
образование |
выходного |
сигнала |
по |
известному Z - |
пре |
|
образованию входного сигнала» |
На |
основе использования |
||||
аппарата Z |
- |
преобразования может быть введено |
поня |
|||
тие передаточной функции разомкнутой импульсной систе мы, аналогичное соответствующему понятию для непрерыв ных систем.
|
Передаточной функцией разомкнутой импульсной сис |
||||
темы называется |
отношение Z & - преобразования выход |
||||
ной |
величины к |
Z |
- |
преобразованию входной |
величины |
при |
нулевых начальных условиях |
|
|||
|
|
|
|
X fa G) |
|
|
|
|
|
|
<2J1) |
Z - |
В соответствии с определением модифицированного |
||||
преобразования выражение для передаточной функции |
|||||
|
может быть записано в следующем виде: |
|
|||
|
|
|
оо |
|
|
|
1л / Д б У = Х Г |
ь?-п (сГ+ &т)а.. |
(2.12) |
||
|
Следовательно, |
передаточная функция разомкнутой |
|||
амплитудно-импульсной системы первого типа представляет собою Z q - преобразование от импульсной переходной
функции приведенной непрерывной части»
48
Выясним, какой вид будет иметь передаточная функ ция формирователя &(s) для случая, когда в дискретной системе осуществляется фиксация значения сигнала на пе риод повторения Т , т .е . формирователь является запо минающим элементом нулевого порядка. Такое преобразова ние сигнала является наиболее распространенным для вы ходных устройств управляющих ЦВМ.
В такой системе на каждый мгновенный импульс в ви де Ф - функции реальный импульсный элемент генерирует прямоугольный импульс, амплитуда которого пропорциональ на "площади" входного импульса, а длительность равна периоду дискретности Т .
Выходной сигнал можно представить (рис.2 .4 ) в ви де разности двух единичных ступенчатых сигналов, один
0*7t) |
— |
fft) |
г |
|
f- |
«XI |
|
|
г гт зт |
—— t |
т гт зт мт |
«г |
||
|
|
F(sJ |
Р и с.2 .4
4 |
49 |
