Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 4
3) |
у'" + у' — / (-*0; |
|
|
|
х |
|
(0 < х |
<2), |
||
4) |
y' + |
y = f ( x ) , |
где |
2« = |
|
|
||||
4, f ( x ) = |
|
(2 < х |
< 4); |
|||||||
5) |
|
у = |
arcsin (sin Л'); |
|
2 — х |
|||||
у' — |
|
|
|
|
|
|||||
6) |
у ' — |
у = |
arcctg (ctg х); |
|
(1 |
(0 < х < 1), |
||||
7) |
»' + |
4 „ = / W . |
|
|
|
|||||
гле 2 . - 2 , / ( , ) - { < , |
( 1 < ^ < 2 ) . |
|||||||||
8) |
у" + |
2у' |
+ У = / ( х ) , |
где |
2о) = |
2, /(* ) = |
Г |
1 (0 < |
лг < 1). |
|
|
|
^ < ^ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
9) |
у" + |
4у = f ( x ) , |
где |
2м = |
4, f |
(х) = | 2 — х |
(1 < х < 2), |
|||
|
|
|
|
|
|
|
IО |
|
(2 < .г < 4). |
|
58. Найти периодические решения систем линейных дифференциаль ных уравнений, считая функции f(x ) и F (х) периодическими, пе риода 2ю:
( р ' = дг -f f ( x ) ,
\ z ' = by.
2) (У' = |
+ /(■*). |
J U ' = - 2 . v + f(-v).
3) r / = p - 20,
U' = 5 < / - 2 + f ( x ) ,
59.Найти решения уравнений с запаздывающим аргументом:
!) у '( х ) = у { х — 1).
а) |
Начальная функция <р(х) |
= |
у0 = |
const, |
при |
— 1 < х < |
О, |
||||
у Ф ) = |
Уо- |
|
|
|
при |
0 < .к < |
1, |
г/ (0) = |
0. |
||
б) |
Начальная функция <р(jc) = 3jc, |
||||||||||
2) |
у ' ( х ) — у { х ) + у ( х — \ ) = \ . |
|
при — 1 < |
х |
< |
0, у (0) = |
|||||
Начальная функция |
(*) = |
х 2 — 1, |
|||||||||
3) |
' у' (х) + 2у (х) - у (х - 1) = / ( х ) . |
< |
л: < |
0, |
у |
(0) = 0. |
|
||||
Начальная функция |
ор (х) = |
0, |
при |
— 1 |
|
||||||
25
4) |
у" (х) + у ( х ) + у ( х — л) = 0. |
а) |
Начальная функция ф(х) = sin х при 0 < х < я, и (0) = 0 , |
*'(0)= 1.
б) Та же начальная функция, но при — л < х < 0, и (0) = 0,
/( 0 ) = 1 .
5)у" (х) + 3у' (х) — 4у (х) + у' (х — 1) — у (х — 1) = 20.
|
Начальная |
функция |
ср(х) = 0, |
при |
— 1 < х < 0 , |
|
у (0) = |
||
= »'(0) = 0. |
2у (х) — 4у' (х — 2) — 2# (х — 2) = 0 . |
|
|
||||||
|
6) у" (•*) + |
у (0) = 4, |
|||||||
|
Начальная функция о (х) = 2х + 4, при — 2 < х < 0, |
||||||||
У'( 0) = |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) у" (х) 4- 2у' (х) + у (х) + у' (х — 1) + 2у (х — 1) = 0 . |
|
|||||||
|
Начальная |
функция |
о (х) = е~2Х, |
при |
— 1 < х < 0, |
у (0) = 1, |
|||
У’ (0) = |
- 2 . |
|
|
|
|
(х — 1) + у (х — 1) 0. |
|||
|
8) у'" (х) — 2у" (х) ~ у ' (х) + 2у (х) + у' |
||||||||
|
Начальная |
функция |
<р (х) = е~ х ,при |
— 1 < х < 0, |
г/ (0) = 1, |
||||
</'(0) = |
~ 1 , у”(0) = |
1. |
|
|
|
|
|
||
|
9) |
г/"' (■*) — 2у"(х) |
+ у' (х) — 2у (х) + г /(х — а) — 3у (х — а) = 0. |
||||||
= |
Начальная |
функция |
<р(х) = 0, |
при |
—- а < х < 0 , |
у (0) = |
|||
*/'(0) = 0 , у" (0) = |
1. |
|
|
|
+ |
8у (х — |
|||
|
10) у" (х) + |
у" (х — я) -Т 4г/' (х) — 6у ’ (х — а) + 3у (х) |
|||||||
— а) = |
/( х ) . |
функция |
<р(х) = 0, |
при |
— я < х < 0 , |
|
у (0) = |
||
|
Начальная |
|
|||||||
= |
у ’(0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
60. Частица брошена вертикально вверх со скоростью v0. На нее дей ствует сила тяжести mg и сила сопротивления 2kmv. Найти расстоя ние частицы от точки бросания в момент времени 1> 0.
61. Математический маятник длины / выводится из положения рав
новесия горизонтальным перемещением точки подвеса |
на расстоя |
ние а. |
|
Найти отклонение маятника. |
собою пру |
62. Две частицы с массами М и т соединены между |
жиной жесткости k и находятся в состоянии покоя на гладкой гори зонтальной плоскости. Частица М получает импульс р по направле нию к другой частице. Определить перемещение частицы М относи тельно первоначального положения.
26
63. Две одинаковые частицы каждая массой т могут перемещаться по прямой и соединены между собой пружиной жесткости к. В мо мент времени 1= 0, когда обе частицы находятся в состоянии покоя и пружина не напряжена, к одной из них приложена сила Т, на правленная к другой частице. Определить перемещение второй ча стицы относительно первоначального положения.
64. Невесомая нить длины 31 натянута в горизонтальном положении а закреплена на концах. В точках, делящих нить на три равные ча сти, прикреплены массы 15т и 7 т. Натяжение нити в положении равновесия равно kml. Частица 15т оттягивается в сторону на рас стояние а при неподвижном положении второй частицы. Затем обе частицы одновременно высвобождаются. Найти смещение частицы с массой 7т в момент времени 1>0.
65. Частицы с массами Зт, 4т, Зт расположены на одинаковых расстояниях друг от друга вдоль невесомой нити длины 41 с закреп ленными концами, растянутой силой Т. В момент времени 1=0 к пер вой частице системы, находящейся в покое и положении равновесия, приложен импульс р в направлении, перпендикулярном нити. Опре делить движение системы.
66. Три маховых колеса А, В, С с моментами инерции 31, 41, 31 насажены на одинаковые валы АВ и ВС с жесткостью к, моментом инерции которых пренебрегаем. В момент времени 1=0, когда систе ма находится в покое, маховику А внезапно придается угло вая скорость со. Найти угловую скорость маховика С в момент времени 1> 0.
67.Частица массы пг и заряда е вылетает из начала координат со скоростью, компоненты которой соответственно равны (и; 0; 0). На нее действует магнитное поле Н, параллельное оси Ог и сопротивле ние среды kmv, где v — скорость частицы. Определить положение частицы в момент времени 1> 0.
68.Найти движение заряженной частицы массой m и заряда е, нахо
дящейся в электрическом поле Е, параллельном оси Ох, и магнитном поле Я, параллельном оси Ог. Частица в момент времени 1 = 0 обла дает скоростью с компонентами (и, v, w) и находится в начале координат.
ЗАДАЧИ НА РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТУРОВ
69. Контур (см. рис. 20) приключен к постоянной э. д. с. Е0. При установившемся режиме включается рубильник к и накоротко замы кает сопротивление /?г. Найти выражение переходного тока.
27
70. В схеме (рис. 21) действует синусоидальное напряжение
и (t) = и0 sin («>t + ф).
В момент времени |
t = 0 рубильник |
замыкает |
накоротко цепь |
R2L. |
Найти выражения переходных токов. |
|
под |
||
71. Найти .условия |
существования |
колебательного процесса при |
||
ключении контура |
(рис. 22) к постоянной э. |
д. с. Е0. |
|
|
72. В схеме (рис. 23) при включенном рубильнике на конденсаторе имелось напряжение Е0, а ток через катушку индуктивности был ра-
Е
вен — . При выключенном рубильнике начинается разряд конденса-
/?2
тора. Предполагается в конденсаторе наличие апериодических разря дов. Найти напряжение на конденсаторе в момент времени t.
73. В схеме (рис. 24) при замыкании рубильника к конденсатор С с начальным напряжением Ucо разряжается на две параллельно вклю ченные индуктивности L2 и Ц. Найти выражения переходных токов.
28
74. Цепная схема из двух четырехполюсников согласно рис. 25 вклю чается на постоянную э. д. с. Е0, при коротком замыкании в кон це ее. Найти выражения переходных токов в каждом звене рассмат риваемой схемы.
75. На рис. 26 изображена цепь, замыкаемая и размыкаемая рубиль ником к. Рубильник остается замкнутым в течение 11 секунд и разомкнутым в течение Ц секунд, причем эта операция повторяется периодически в той же последовательности. Определить выражения тока в цепи при я-ом замыкании и при п-ом размыкании, предпола гая что г(0) = 0.
R
Рис. 26 |
|
|
|
Рис. |
27 |
76. Трансформатор без потерь (i?i = i?2= 0), |
в обоих |
контурах кото |
|||
рого включены емкости С, |
и С2, включается на постоянную э. д. с. Еа |
||||
(см. рис. 27). Определить выражения переходных токов. |
|||||
77. В контур (см. рис. 28) |
при нулевых начальных условиях подклю |
||||
чена э. д. с. |
|
|
|
|
|
a (t) |
= |
E i |
(0 < t < |
Т), |
|
Е 2 |
(t > Т). |
|
|
||
|
|
|
|
||
29
