Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Найти выражение переходного тока при t> T при условиях колеба­ тельного процесса.

78. В контур (см. рис. 29) подключена периодическая э. д. с. перио­ да Т:

u(t) = at (0 < t < Т).

При каком начальном условии в контуре возникает периодический ток, вызванный действием э. д. с. u(t).

79. Найти решения линейных уравнений в частных производных, удовлетворяющие заданным условиям:

ду1

О < х < 1, 0 < у < оо.

30

8)—- г - - + a u = f ( x , ty),

дхду

31

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К УРАВНЕНИЯМ В ЧАСТНЫХ

ПРОИЗВОДНЫХ

ЗАДАЧИ НА РАСЧЕТ ДЛИННЫХ ЛИНИЙ

80. К левому концу х=0 бесконечной изолированной электрической линии без потерь (R=G —0) подключена э. д. с. E(t). Найти величину напряжения и(х, t) по истечении времени t от начального момента, если в момент подключения напряжение и сила тока в линии равны нулю.

момента, если в момент подключения напряжение и сила тока в ли­ нии равны нулю.

82. К левому концу х=0 линии длины I без потерь (R = G—0) под­ ключена э. д. с. Е0 sincotf. Найти величину напряжения и (х, t) по истечении времени t от начального момента, если на другом конце линия накоротко замкнута и в момент включения э. д. с. напряжение и сила тока в линии равны нулю.

85.Тяжелый растяжимый стержень, длина которого в нерастянутом состоянии равна I, подвешен за конец х=0, а конец х=1 оставлен свободным. Найти вынужденные колебания стержня.

86.Найти вынужденные поперечные колебания струны, закрепленной

на конце х= 0 и подверженной на другом конце х = 1 действию воз­ мущающей гармонической силы, вызывающей смещение, равное

A sin соt.

32

87. Струна длиной I закреплена на концах x=Q и х=1. В момент времени t = 0 она оттянута в точке х=с(0<с<.1) на расстояние рав­ ное единице от оси Ох, затем струна отпущена без сообщения ее точ­ кам начальной скорости. Определить отклонение и(х, t) точек стру­ ны для любого момента времени.

Задачи по теплопроводности

вается равной «o=const. Боковая поверхность стержня теплоизоли­ рована.

90.Найти распределение температуры в однородном тонком полуограниченном стержне, когда его начальная температура и0 постоян­ на, а температура его левого конца поддерживается равной нулю. Боковая поверхность стержня теплоизолирована.

91.Найти распределение температуры в полуограниченном тонком однородном стержне с тепловой изоляцией боковой поверхности, если начальная температура стержня равна нулю и температура его ле­

вого конца х = 0 изменяется по закону м(0, t) =[(().

92. Тонкий однородный стержень длины I теплоизолирован с боко­ вой поверхности и во все время наблюдения концы х= 0 и х=1 удер­ живаются при нулевой температуре. Начальное распределение тем­

«о>0. Поверхность шара поддерживается при нулевой температуре. Найти температуру внутри шара при его остывании в любой момент времени.

94. Круглая однородная пластинка радиуса R нагрета до постоянной температуры и0>0. Контур пластинки во все время наблюдения под­ держивается при нулевой температуре. Найти температуру пластин­ ки в любой момент времени.

Р А З Д Е Л Т Р Е Т И Й

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

95. Пользуясь теоремой умножения, вычислить следующие интегралы:

34

X

5) j sin ( л — / ) / 0 (/)*//;

о

х

6) { J0(at)J0( a ( x — t))dt\

о

7)y m ( O S n ( x - t ) — ~;

Jtt (xJ — t)

96.Пользуясь предельными теоремами, вычислить следующие инте­ гралы:

1)\ е~ах sin bx dx\

о

2 ) 1 е~ ах cos bxdx\

dx\

dx\