Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то |
|
1 |
\ |
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ± -у\ х = cos'2x cos — + sin 2х sin — ,, |
|||||||||
I cos |
“ cos 2xdx |
If |
cos |
5 |
. |
. |
1 С |
3 |
j |
||
== — I |
— xdx-I----- I |
cos — xdx = |
|||||||||
J |
2 |
|
2 |
J |
|
2 |
|
|
2 J |
2 |
|
|
|
1.5 |
, |
1 |
• |
3 B . |
„ |
|
|||
|
|
= — sin |
— x 4----- sin —4- C. |
|
|||||||
|
|
5 |
|
2*3 |
|
2 |
' |
|
|
||
|
|
|
|
УПРАЖНЕНИЯ |
|
|
|
|
|||
33. |
Вывести формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f— = ln i tg |
|
|
|
I 4- С. |
(XX) |
||||
|
|
J 'cos и |
I |
\ 2 |
4 / I |
|
|
||||
о, |
P |
cos^tdt |
|
|
|
|
nC |
C |
|
3x , |
x , |
34. |
I |
—5--------. |
|
|
|
|
36. |
I |
cos— sin |
— dx. |
|
|
I |
’___ |
|
|
|
|
|
J |
|
4 |
4 |
|
J |
p^sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35. Г cos\x sin2 xdx.
37. I sin 5z sin Szdz.
ГЛАВА III
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Связь между определенными и неопределенными интегралами
Как уже было отмечено в главе |
I, если функция f (х) |
||
непрерывна на |
отрезке [а,Ь], то |
она интегрируема |
на |
этом отрезке, то |
|
ь |
|
есть определенный интеграл J f (х) dx су- |
|||
ществует. |
|
а |
|
|
|
|
|
Для вычисления определенных интегралов там же |
бы |
ла получена формула —формула Ньютона—Лейбница. Этой
ь
формулой вычисление J f(x)dx приводится |
к |
отысканию |
||||
одной из |
|
а |
подынтегральной |
функции |
||
первообразных для |
||||||
/ *)•(• |
|
|
|
|
|
|
Так как множество всех первообразных по |
отношению |
|||||
к функции |
f (х) выражается |
неопределенным |
интегралом |
|||
от f (х), то |
изАэтого следует, |
что для вычисления |
опреде- |
|||
ленного интетрала |
ъ |
надо сначала |
|
|
неопре- |
|
j f (х) dx |
найти |
|||||
|
|
а |
|
|
|
|
деленный интеграл |
J f (х) dx. Если |
|
|
|
Jf(x)dx = F(x)4-C,
то по формуле Ньютона—Лейбница
» ь
Jf(x) dx = F(x)| = F(ft)-F(a).
а |
а |
70
Таким образом, формула Ньютона—Лейбница устанавли
вает связь между определенными и неопределенными интег ралами.
Пример. Вычислить
з
|
|
Г |
dx |
|
|
|
|
|
|
J |
х’— 1 |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
Решение. Так как |
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
= ф'П X- 1 + с, |
|
|||
то |
X2 —1 |
|
|
х+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 — 1 |
2-1 |
|
|
|
|
|
|
3+1 |
2 + 1 |
|
£ |
/. |
1 |
, |
1 \ |
1 . |
3 |
|
2 |
(1П--------1П—) |
— —1п |
— |
|
|||
\ |
2 |
|
3 / |
2 |
2 |
|
|
2. Вычисление определенных интегралов подстановкой |
|||||||
Пусть требуется |
вычислить |
определенный |
интеграл |
||||
ь |
|
|
|
которая определена |
и непре- |
||
J f(x)dx от функции f (х), |
|||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
рывна -по крайней мере на отрезке [а, д]. |
|
удовлет |
|||||
Положим х—и допустим, |
что функция <f(t) |
воряет следующим условиям:
1)когда t изменяется от а до р функция <p(f) непрерывно изменяется от а до Ь так, что <р(а)=+ <р((3) =&, а все другие значения <р(0 содержатся в области, где функция /(х) опре делена и непрерывна;
2)на отрезке с концами аир функция qp(/) имеет непре рывную производную
Докажем, что
ьр
J/(x)dx=p[<p(O]<F'(O^.
а•
Прежде всего заметим, что каждый из этих двух интегра
лов существует как интеграл от непрерывной функции (непре рывность Дер (/)] следует из теоремы о непрерывности слож
7.1
ных функций). Остается доказать, что они равны между собой.
/Тля этого составим две функции:
т(0
F(0 = j f(x)dx
а
И
Ф(о== «р[?(0]?'(0^-
Заметим, что эти функции имеют тождественно равные производные. Действительно,
dy di
Но
^=/(? «I.
d<f
как производная интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу. Поэтому
(О = f 1? (0] ?' (0-
Производная Ф'(0 также является производной интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу. Поэтому
Ф' (0==/[? (0] ?' (0-
Следовательно,
F'(0 = ®' (f).
Это означает, что функции F(t) и Ф(^) являются перво образными для одной и той же функции и поэтому могут от личаться между собой только на постоянное слагаемое, то есть имеет место тождество
Г(О==Ф(0 + С,
где С — некоторое число.
Полагая в этом тождестве t—a и замечая, что
Ф(«)= «р [<Р (01 ф'(0 dt—О,
Г (а) = J / W dx=^ J/(х) dx = О,
72
получим
С = 0.
Следовательно, для всех значений t от а до р
Г(<) = ф(0,
то есть
f (О t
р(х) = р [?(*)]?' (*)&■
а«
Отсюда при /=Р, учитывая, что <р(Р)=^, получим требуемое равенство
ь
J f(x)ix = j/[7 (/)!»' w it.
aa
Вэтой формуле заключается способ вычисления определен ного интеграла подстановкой: функцию x=<p(f), удовлетво
ряющую условиям, указанным выше, |
|
у |
||
стараются выбрать так, чтобы |
новый |
|
|
|
|
был |
более |
|
х*’ |
интеграл J f [<р (£)] |
|
|||
простым для вычисления, чем перво- |
л [ || |
|||
начальный интеграл \f(x)dx. |
|
\ |
J |
|
а |
|
|
|
|
Пример, Найти площадь S круга |
|
Черт. 6. |
||
радиуса г. |
прямоуголь |
|
||
Решение. Возьмем |
|
|
ную систему координат хоу, поместив начало о в центре дан ного круга (черт. 6). Тогда уравнение окружности радиуса г
будет:
х2+у2 = г2.
Первую четверть круга можно рассматривать как криво линейную трапецию, построенную на отрезке [о, г] оси ох и ог раниченную сверху кривой
y = Vr2 — x2-,
поэтому ее площадь, равная S, выразится формулой
у S = ^Vr^^j^dx.
о
73
Для вычисления определенного интеграла в правой части
этой формулы воспользуемся подстановкой
х — г sin t.
Тогда |
|
|
Vгг — х* = г cos t, |
dx = r costdt. |
|
Полагая в равенстве x—r sirf t сначала x=0, а затем |
мы |
|
получим уравнения |
|
|
rsin£=?=0 и |
rsin£ = r; |
|
решив их, найдем пределы для интегрирования по новой пере
менной t: t=Q — нижний предел, t= |
—верхний предел. |
Следовательно, |
|
г |
тс |
2 |
_L 5 = J ]Лг2 — х1 dx = r2 J cos* t dt —
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
тс |
|
|
|
к |
|
к |
|
|
“Г |
,, |
|
п,, |
” |
. sin It |
т |
*г г |
|
гг С |
г3 / . |
\ |
, |
|||||
——\ |
(1 |
4~ tosZtjdt = |
— I t |
--------— |
} |
— — |
||
о |
|
|
|
о |
|
о' |
|
|
а вся площадь круга |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
S = №. |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Интегрирование по частям |
|
|
|||
Пусть на отрезке [а, 6] функции и(х) и v(x) имеют непре |
||||||||
рывные производные и'(х) и |
а'(х)- |
Тогда имеет место |
равен |
|||||
ство |
|
|
ь |
ь |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
J и (х) dv (х) = [и (х) v (х)] | — J v (х) du (х).
а |
а |
а |
Действительно, так как при данных условиях
то uv есть первообразная для функции и dx 4- v dx
74