Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 84

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

непрерывной на отрезке

[а, &]; поэтому,

в силу формулы

Ньютона—Лейбница, имеем:

 

 

 

ь

dv

 

du \ ,

.

\

b

n

 

 

 

(uv) .

и-------Н ® — dx =*

 

dx

1

dx )

v

’

a

a

Пользуясь правилом интегрирования суммы, последнее равен­ ство можно представить в виде

ьь

J udv

J vdii = (uv) |b

a

a

 

a

откуда и следует требуемое равенство

ь

 

ь

ь

J udv = (uv) |

 

— J vdu.

а

 

а

а

Полученная формула выражает способ интегрирования по 'частям при вычислении определенных интегралов.

Пример. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной [ТС 1

О,— оси ох (черт. 7).

2

Черт. 7.

Решение.

2

S== J jccosx dx.

о

Для вычисления полученного интеграла применим способ интегрирования по частям. Положим

и — х, dv = cos xdx.

Тогда

du — dx, v = sin x.

75

Поэтому

J

xcosxiZx=(xsin x)l

—

 

Io

 

я

 

 

 

— f sinxrfx = —4-cos x

о

——---- 1.

J

2 '

2

о

 

 

 

Следовательно, искомая площадь

Se __ i.

2

4. Приближенное вычисление определенных интегралов

Если можно найти функцию Е(х), первообразную по отно­ шению к непрерывной функции /(х), заданной на отрезке [а, Z>],

то мы

можем

вычислить точное значение интеграла

ь

Для

этого достаточно воспользоваться фор-

J f (х) dx.

а

мулой Ньютона—Лейбница:

ь

J f(x)rfx = /?(x)|fl .

а

Однако первообразную часто бывает трудно найти, а иног­ да и нельзя ее выразить^ в элементарных функциях. В таких случаях формула Ньютона—Лейбница практически неприме­ нима. Нельзя пользоваться этой формулой и тогда, когда подынтегральная функция получена опытным путем, как это часто бывает в технике, и выражается таблицей некоторых ее значений или графиком. Во всех этих случаях прибегают к при­ ближенному вычислению определенных интегралов.

Рассмотрим простейшие способы такого вычисления.

Способ прямоугольников. По определению:

ъ а—1 f f(x)dx = Ига

аАХИ,°Й-О

Отсюда следует, что за приближенное значение интеграла

ь

/ = J f (x)dx

76

можно взять интегральную сумму

»= Sf(E»)Ax„

*-0

причем отклонение суммы ст от интеграла I будет сколь угодно мало, если только при составлении интегральной Суммы а

отрезок [а, Ь] был разбит на достаточно малые части.

Если нам известно, что числа

У«> Уъ •

• ■ ,

Уп

есть значения функции f(x) соответственно в точках

а = хй <

. < хп = Ь,

то эти точки и можно принять

за

точки разбиения отрезка

[а, 6], а в качестве интегральной суммы взять

Л—1

л—1

 

Yf(xk)^xk или

S f (Л+1)'* Дй*-

k-0

fe-0

 

Тогда получим приближенные формулы

 

 

Ь

 

 

л—1

 

 

 

0)

 

 

a

 

 

fe=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

b

 

 

л—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если значения функции f (х) нетрудно

вычислить в лю­

бой

точке отрезка

[а,

Ь],

то удобнее

разбить

отрезок

(а,

на

некоторое число п.

равных частей. Тогда

=

= b

п

для всех k

и

приближенные

формулы

(1)

и (2)

 

вид:

 

 

 

 

 

 

 

примут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

. +y«-i)

 

(Г)

 

 

^f{x’)dx^~^{y^ + yl + . .

 

а

77

Полученные здесь приближенные формулы имеют простой геометрический смысл.

Если функция

f(x)

на отрезке

[а,

Ь\ непрерывна и

 

ь

 

 

 

площадь криво-

положительна, то

J f (x)dx

выражает

линейной трапеции

а

(черт.

8),

ограниченной графиком

аАВЬ

функции /(х), отрезком [а, Ь\ и прямыми х—а и х=Ь. Правые же части приближенных формул представляют площади сту­

пенчатых фигур, составленных из прямоугольников. Этим'

объясняется, что применение приближенных формул (1) и (2)

или (1') и (2') называют приближенным вычислением опре­ деленных интегралов способом прямоугольников.

Способ трапеций.

Взяв

за значение

интеграла

ь

арифметическое правых частей прибли-

^f(x)dx среднее

а

и (2), получим более, точную формулу:

женных формул (1)

Ь

 

п—1

 

(3)

J f (X) dx « £

bxk.

a

 

k—О

 

 

Способ приближенного вычисления определенного интегра­

ла, выраженный формулой

(3), называется способом трапе­

ций, так как в случае непрерывной и положительной на отрез*

ке [а,

Ь] функции /(х) применение этой формулы означает за­

мену площади криволинейной

трапеции

аАВЬ (черт. 9) пло­

щадью фигуры, состоящей из

трапеций

с основаниями *у и

У*+1

и с высотой &xk (&=0,1,..., п—1).

 

78

Если отрезок [а, &] разделить на п равных частей, то форму­ ла (3) примет вид:

ь

 

(3')

fr(x)<Zx«-^p±^- + 3,,+y1+. .

V

П \ 2

 

а

 

 

Чтобы дать некоторое представление о том, насколько точ­

ные значения

получаются при вычислении определенных

ин­

тегралов способом прямоугольников и способом трапеций,

применим соответствующие формулы для вычисления интег- 1

dx

J1j, точное значение которого мы найдем по фор-

о

муле Ньютона—Лейбница:

<7х

 

,

х

arc tg 1 = - = 3’141592- -- = 0,785398...

 

= arctg

 

 

4

 

4

 

 

 

1 + X2

 

о

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей. Тогда будем

иметь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0,1

0,2

0,3

0.4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9 | 1,0

 

 

 

У ~ 1

+ X»

1,00

0,99

0,96

0,92

0,86

0,80

0,74

0,67

0,61

0,55)0,50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79

Смотрите также файлы