Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
При |
интегралы вида (IV) можно привести к интегра |
лам вида (III) подстановкой
1
х — а = — . z
Если же « > п, то следует сначала у дроби ----- п~~
выделить целую часть. Пример 5. Найти
рdx_______
J X у/'х> + 6х — 1
Решение. Положим
1
х— — .
г
Тогда
dx *= — |
ж2 ’ |
г |
4- |
— 1 — _L |
_ 1 = |
||
|
' |
|
|
г ж» + t |
1 |
||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
f |
dx |
|
— — С |
|
dt |
|
|
J х /х2 4- 6х — 1 |
|
J / 1 4- 6ж — ж* |
|
||||
С |
dz |
=- |
== arc cos |
■ |
г — 3 |
|
|
= — I |
....... ... |
|
|
||||
J /Ю-(ж -3)» |
|
/ 1® |
|
||||
= arccos |
|
+ С = arc cos — + С. |
|||||
УПРАЖНЕНИЯ
28.
(Зх — 2) dx
4 — 4х - Xs ’
(Зх2 + 5) dx
29.
/х’ +2x4-2" '
dx
30.
х Y х2 4- а2
59
10. Интегрирование биномного дифференциала
Рассмотрим неопределенный интеграл
J хт (а. 4- bxn)p dx,
где числа т, |
п и р—рациональные, а а и Ь — любые, |
отлич |
ные от нуля |
(при а=0 или 6=0 интеграл вычисляется |
непо |
средственно по основным формулам).
Дифференциал, стоящий под знаком интеграла, мы будем называть биномным.
Биномный дифференциал xm(a-\-bxnydx интегрируется
в следующих трех случаях. |
число или |
нуль. Если |
Случай I. Пусть р — целое |
||
р = 0, то хт(а-\-bxn)pdx~ xmdx, |
и мы имеем |
дело с таб |
личным интегралом. |
|
|
Если р — целое число и в то |
же время числа т я п — це |
|||
лые, то хт (а-\-Ьхп)р |
является рациональной функцией и по |
|||
этому интегрируется известным способом. |
||||
Если р — целое число и по крайней мере одно из чисел т |
||||
или п — дробное, |
то |
хт (а-\-Ьхп)р представляет иррациональ |
||
ное выражение, |
которое интегрируется способом, указанным |
|||
в § 7 этой главы |
(2-й частный случай). |
|||
Случай II. |
Пусть число р — дробное: |
|||
|
|
|
|
г |
|
|
|
р= — . |
|
В этом случае |
мы |
|
S |
|
будем |
искать такую подстановку, |
|||
которая привела бы к интегралу от рациональной функции. Положим
а 4- bxn = zs.
Отсюда получим:
1 JL
х=—— (zs — а)п ,
xm=-^(zs-a)n ,
ъ п
dx = —Z—1- [zs — а)~" 1
nbn
{а 4- bxn)~=zr.
60
Поэтому
Р |
— |
. |
(, |
|
^+1_! |
|
1 хт {а 4- bxn)s dx = —I |
zr+5-1 (zs — a) n |
dx. |
||||
|
|
nb |
" |
|
|
|
Ясно, что в полученном интеграле |
подынтегральная |
|||||
функция будет рациональной, |
а поэтому интегрируемой |
|||||
известным способом, если |
|
т + 1 |
|
целым или |
||
число —1— будет |
||||||
|
|
|
|
п |
|
|
нулем. |
Если же |
число - |
— дробное, |
то |
полученный |
|
интеграл ничем не лучше данного.
г
Итак, xm(a-\-bxn)s dx интегрируется подстановкой
а 4- bxn — zs,
если только выполнено условие:
т 4- 1
п
есть целое число или нуль.
Случай III. Пусть р = — и число |
— — дробное. |
5 |
п |
Положим |
|
а + bxn =zsxn. |
|
Отсюда находим:
|
2 |
__ i_ |
|
|
|
||
х = а п |
(zs — b) |
п , |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
С/7 |
— |
|
— *——1 |
, |
« |
|
|
|
|
Л |
|
|||
dx~-------------(zs — b) |
|
zx-1 dz, |
|
||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
a-[-bxn = azs(zs |
—b)~l. |
|
|
||||
J хт (а 4- bxn)s dx = |
|
|
|
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
’^±L + Z. |
p |
|
|
\ |
n |
+ _L |
+4 |
,.л n s |
|
|
s |
J |
|||
— — —----------- |
z'+s-1 (zs — b) |
|
|
dz. |
|||
61
Отсюда видно, что подстановка, которой мы восполь зовались, приводит к интегралу от рациональной функции,
если только |
т 4- 1 . |
г |
число или |
нуль. |
—1----- ------есть целое |
||||
|
п |
S |
|
|
г
Итак, хт (а -ф bxn)s dx интегрируется подстановкой
а -ф bxn = zsxn,
если только выполнено условие:
пS
есть целое число или нуль.
П. Л. Чебышев доказал, что рассмотренные здесь три случая исчерпывают все случаи интегрируемости биномного дифференциала.
Таким образом, верна следующая теорема.
Теорема Чебышева. Неопределенный интеграл от биномно го дифференциала
J хт (а -ф- bxn)° dx
приводится к интегралу от рациональной функции и поэтому выражается через алгебраические, логарифмические и обрат ные тригонометрические функции, если хотя бы одно из трех чисел:
m -f-1 |
m 4- 1 |
п ’ |
п |
— целое или нуль. Если же ни одно из указанных трех чисел не будет целым или нулем, то биномный дифференциал не ин тегрируется никаким методом.
Пример 1. Найти
J х3(1 4*- 2) 3dx.
Замечаем, что в данном случае |
|
|
|
|
г |
2 |
, |
m = 3, п — Ч, р — — |
= — |
||
r |
$ |
3 |
|
/п + 1__ 3 4-1 __ g |
|
|
|
п ~ 2 |
— |
|
|
Поэтому положим |
|
|
|
14* -x = «s |
*(l+x |
= zs). |
|
62
Отсюда найдем: |
|
|
|
x^(z* |
- |)~, rfx = -|-(z3-*6Zz,ir^x |
||
|
Jx3 (1 -I- x'^dx = |
|
|
= J (z3 - I)'»’z3 |
A(z’ - z*l)~~ |
adz = -|-j(z8 - J) *dz = |
|
= 4" f *( 7 -«4)rf2= — (■£------—\ +C. |
|||
2 J |
’ |
2 \ 8 |
5 / |
Так как |
|
|
|
|
z — (1 + x’)3 > |
|
|
то окончательно |
получим: |
|
|
Пример 2. Найти
у—
*х (2 + х») *
Здесь мы имеем:
т = — 2, я = 3, р=— —
S
поэтому положим |
|
|
|
|
2 4- х3 = z3x3 |
|
(2 + х3 — zsxn). |
||
Отсюда получим: |
_ _i_ |
1 |
_ 4 |
|
1 |
- 1) szatZz, |
|||
x=2^(z3—1) |
3, |
dx = - 2 3 (z3 |
||
2 4-х3 =2z3 |
(z3 — I)-1, |
|||
|
|
1 |
2 |
б |
|
— 23z’(2’—1) 3 |
(z’-1)3 , |
||
|
|
|
—r---------az = |
|
|
|
|
|
ъ |
|
(z3 — 1) 32 3 |
2Tz» |
||
63
