Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
__ ____ 2 |
L 4- c c= 2gi + 1 |
4 |
8z2 ‘ 82* |
Так как из подстановки, которой мы воспользовались, сле дует, что
Z —
то
dx
——у
хг (2 -I- х‘) 3
__ |
4 + 3x3 |
2
s
8х(2 + х3)3
УПРАЖНЕНИЯ
31. J х3 /(2 - х')1 dx.
32.
(2 + 8^)2
11. Интегралы от некоторых тригонометрических
выражений
Рассмотрим интегрирование некоторых тригонометрических дифференциалов.
Интегралы вида
(Л) |
J R (sinx, cosx) dx. |
|
где |
подынтегральная функция такая, |
что если sin х и cos х |
заменить соответственно через и и V, |
то получится функция |
|
7?(u, v), рациональная относительно своих аргументов и и v.
64
Вычисление таких интегралов приводится к интегрированию рациональных функций.
Действительно, |
. Х |
|
|
|
Л I |
Х 9 |
|
П |
|
|
Х |
Х |
|||
sin х — 2 sin — cos |
—- = 2 tg |
— cos’ |
— = |
||||
|
2 |
|
|
2 |
& |
2 |
2 |
|
_ |
|
X |
|
X |
|
|
|
2tg— |
|
2tgy |
|
|||
|
Sec»-^- |
|
1+tg»-^- |
|
|||
|
|
|
At |
|
|
a |
|
, |
X |
. |
, |
X |
. |
X |
|
COS X = cos-------sin |
— — cos’ — |
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
1 — tg2 ~ |
|
1 — tg2 y |
|
|||
|
sec2 |
-y |
|
1 + tg2 -y- |
|
||
Если теперь положим |
X |
|
|
|
|||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
tg |
— = Z, |
|
|
|
|
|
|
S |
2 |
|
|
|
то получим: |
|
2z |
|
|
1 — z5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
sin x =-------, |
cos x =-------- |
|
||||
|
1 |
+ z2 |
|
1 + z2 |
|
||
|
x = 2 arc tg z, |
dx — - dz - |
|
||||
|
|
|
|
s ’ |
|
14-z2 |
|
Поэтому
/?(sinx, cosx)t/x =
2z 1—z2\ 2rfz
Ri (z) dz,
1+z»’ 14-z2/ 1 +z2
где Ri(z)—рациональная функция, так как для его получения мы подставили в рациональную функцию R (и, v) вместо и и v выражения, соответственно,
2z |
------ |
1 |
— z2 |
|
1 |
и -------- |
|
1 + Z2 |
+ Z» |
||
содержащие только целые степени z, а затем результат умно жили на рациональную дробь
2
1 + z« '
5—295 |
65 |
Пусть, пользуясь правилами интегрирования рациональ ных функций, мы нашли:
J /?, (z) dz — F (z) + С.
Тогда
J R (sin х, cos х) dx = F tg 4" С-
Пример 1. |
Найти |
dx |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin х |
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2z |
, |
|
2dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin x = -------, |
|
dx —-------- |
|
||
|
|
|
|
14-4 |
|
|
1 4. «« |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||
Р |
dx __ |
Р |
dz |
|
|
|
|
|
J |
sinx |
J |
z |
|
|
|
|
|
Результат, полученный здесь, позволяет включить в табли |
||||||||
цу основных интегралов формулу |
|
|
|
|
||||
|
|
|
du |
= 1П tgy- |
+ С. |
(Х1Х> |
||
|
|
|
sin и |
|
|
|
|
|
Интегралы вида
(5)
J sin" х cos'” xdx.
Остановимся на двух случаях, когда интегралы вида (В)
вычисляются весьма просто.
1-й случай, когда по крайней мере один из показателей степени m или п—положительное нечетное число.
Пусть, для определенности, таким числом будет т, то есть т=26-|-1, где k — натуральное число или нуль. Другой пока затель степени п в этом случае может быть любым действи тельным числом. Тогда имеем:
j sin” х cos!ft+1x<Zx = Jsin" x cos’x* cos xdx —
= J sin" x (1 — sin* x)k d sin x.
66
Развернув в последнем интеграле (1—sin2x)ft по формуле бинома Ньютона и интегрируя полученную сумму почленно,
придем к табличным |
интегралам |
вида |
Jsin^ xd sin х. |
||
Пример 2. Найти |
|
|
|
||
|
|
J |
V cos х |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
f |
tg3% - |
dx — f cos |
2 x sin’ xdx — |
||
J |
У COS X |
|
J |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
= I cos |
2 x sin2 x sin xdx == |
|||
|
|
_ 7 |
x(l — cos’ x)d cos x = |
||
= — I cos |
2 |
||||
|
_ _7_ |
|
Г cos |
_js_ |
|
=—I cos |
2 xd cos x 4- |
2x6Zcosx = |
|||
|
- — cos |
2 |
x — 2 cos 2 x 4" C. |
||
|
5 |
|
|
|
1 |
2-й случай, когда оба показателя т и п—положительные
четные числа.
В этом случае подынтегральную функцию преобразуем по известным формулам тригонометрии:
sin х cos х = — sin 2х.
2
sin’x = -у- (1 — cos 2х),
cos2x = -|- (1 4- cos2x),
в результате чего получим либо интегралы, содержащие не четные степени sin 2х или cos 2х, которые вычисляем способом, рассмотренным в 1-м случае, либо интегралы опять от четных степеней sin 2х и cos 2х, которые снова преобразуем по тем же формулам тригонометрии, переходя к функциям sin 4х и cos 4х, и т. д.
Этот процесс всегда можно довести до конца, так как каж дый раз сумма показателей уменьшается вдвое.
5* |
67 |
Пример 3. |
Найти |
|
|
|
|
J sin’xcos4xcZx. |
|||
Решение. |
|
f sin!2x |
l + cos2x . |
|
С . , |
. . |
|||
sin’ х cos4 xdx |
= I |
—-— |
• ------ ------- ax = |
|
J |
|
J |
4 |
2 |
= — f sin’2xiZx 4- — f sin’ 2x cos 2xdx ~ |
||||
8 j |
|
|
8 J |
|
= — C |
12~~cos 4x ■ dx -}—— C sin! 2xd sin 2x — |
|||
8 J |
2 |
|
* |
16 J |
= |
x----- - |
sin 4x -I—~ sin3 2x 4- C. |
||
16 |
64 |
|
'48 |
|
Интегралы вида |
|
|
|
|
(C) |
J sin ax cos bxdx. |
|||
При a=b интеграл (С) является элементарным интегралом вида (В). Если а #= Ь, то, пользуясь формулами
sin (а ± Ь) х = sin ах cos bx + cos ах sin bx,
находим:
sin ax cos bx = ~- [sin (a -f- b) x -ф- sin (a — b) x],
1 |
C |
, / |
.\ |
j |
cos (a 4- b) x |
cos (a— b)x |
— |
J |
sin (a — b)xdx =-------- —1—— |
2(a—b) |
|||
2 |
|
7 |
|
2(a + b) |
||
Интегралы вида |
|
|
|
|||
(D) |
|
|
|
j sin ax sin bxdx, |
|
|
(E) |
|
|
|
|
cos ax cos bxdx, |
|
при a=b относятся к интегралам вида |
(В), а при а ¥= b вы |
|||||
числяют аналогично интегралу (С), пользуясь формулами
cos (а + Ь) х = cos ах cos bx + sin ах sin bx.
Пример 4. Найти
Icos — cos 2xdx.
J2
68
