Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

Так, например, для площади S фигуры, изображенной на черт. 15, получим:

5 = Se А В Ь 4- Sb В С с — Sa А В, Сс-

Следовательно, если кривые АВ, ВС и АС даны, соответ­ ственно, уравнениями

У=/(Д У = ),*?( У = Ф(х),

то, вычислив абсциссы а, Ь, с точек пересечения этих кривых

А, В, С, можем написать:

Решение. Изобразив данную фигуру (чер. 16), видим,

что

1 2

S = | у (х« - 1) dx | + у (л2 — 1) dx =

О1

Пример 2. Вычислить площадь эллипса

х — a cos t, у = b sin t.

87

Решение. Искомая площадь S равняется учетверенной площади той части эллипса, которая находится в первом квад­ ранте (черт. 17). Поэтому

аО

5=4 J ydx — 4 J b sin t ( — a sin t) dt ~

УПРАЖНЕНИЯ

иодной дугой циклоиды

х= a(t — sin t\ у = а (1 — cos t).

2. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Рассмотрим плоскую фигуру оАВо (черт. 18), ограничен­ ную кривой, заданной уравнением в полярных координатах

Р = f (6),

88

идвумя прямыми, исходящими из полюса о, уравнения которых

О= а и 0 = 0.

Данную фигуру оАВо будем называть криволинейным секто­ ром.

Площадь криволинейного сектора оАВо определяется сле­ дующим путем.

Разобьем отрезок [а, 0] на части точками

а = е0 < . < 0А < ... < е„ = 0

ипрямыми

О= 0 = 02) . . . , 0 = 0А, . . . , 0 = 0^,

разобьем сектор оАВо на элементарные секторы.

На отрезке [0ft, +i*0 ] возьмем какую-нибудь точку, которую

обозначим через tk. Затем меж­ ду лучами О=0Л и 0 => 0Й+1 про­ ведем дугу окружности радиуса f с центром в полюсе. В ре­

зультате этого мы получим элементарный круговой сектор с центральным углом

Д 0* = 9л+1 - *.6

площадь которого равна

4 3.= у If (’.) 1" А 6..

Сделав такое построение для всех элементарных отрезков [0й, *04-1 ] , мы получим ступенчатую фигуру, состоящую из п элементарных круговых секторов. Площадь этой ступенчатой

фигуры равна

части, то есть так, чтобы наибольшее из всех ДО* , которое мы

обозначим через ДО, стремилось к нулю. Тогда ступенчатая

граница ступенчатой фигуры будет отклоняться от кривой АВ, ограничивающей криволинейный сектор оАВо, все меньше и меньше. Поэтому площадь S криволинейного сектора оАВо

89

естественно определить как предел площади ступенчатой фигуры при Дб->0:

п—1

S=lim S„ = 4 lira £ [ f (tjp .ДО*

полярных координатах, но данная фигура не является секто­ ром, тогда искомую площадь стараются выразить как ал­ гебраическую сумму площадей некоторых секторов.

Так, например, для площади S фигуры, изображенной на черт. 19, имеем

S = SoABo 4- SoBCo — SoABiCo.

90

то, вычислив полярные углы а, р и Y для точек пересечения этих кривых А, В и С, мы можем написать:

3

s-у- f *[/(»>] d4 +

Пример. Вычислить площадь круга

Р «= 2r sin 6.

Решение. Изобразив окружность по данному уравнению,

мы видим (черт. 20), что для получения искомой площади S достаточно вычислить площадь полукруга справа от верти­ кального диаметра и затем результат удвоить. Полукруг мож­

УПРАЖНЕНИЯ

41.Вычислить площадь одной петли кривой

р= a cos 29.

42. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой р = а (1 sin 9).

43.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

р= 2 — cos 9 и р = cos 9.

3. Вычисление объемов

Если тело представляет прямой цилиндр, основанием кото­ рого является какая угодно плоская фигура, имеющая пло­ щадь S, то объем V данного тела определяется формулой

V=SH,

где Н — высота цилиндра.

91

Это — естественное распространение на более общий слу-

чай определения и формулы объема, которые даются в эле­

ментарной геометрии для прямого круглого цилиндра. Рассмотрим тело, ограниченное произвольной замкнутой

поверхностью.

между плоскостями х=а и х~Ь (черт. 21).

Будем рассекать данное тело плоскостями, перпендику лярными к оси абсцисс.

Площадь сечения плоскостью, проходящей через точку х оси абсцисс, есть функция от х. Обозначим ее через S(x) предположим, что она непрерывна на отрезке [а, Ь].

Разобьем отрезок [а, &] на части точками

а= х0 < Xj < . . . < х!{ < . . . < хп = Ь

иплоскостями

X — Xlf X — Х2, . . . , X — Хл, . . . , X = Хп-1

зующими, параллельными оси ох, так, чтобы сечение ци­

92

Сделав такое построение для всех элементарных отрезков xk , Xk+i ], мы получим ступенчатое тело, состоящее из п элементарных цилиндров. Объем этого ступенчатого тела ра­ вен

Будем делить отрезок [а, Ь] на все более и более мелкие

части, то есть так, чтобы длина Ах наибольшего из отрезков xkf Xk+i ] стремилась к нулю. Тогда ступенчатая поверх­ ность ступенчатого тела будет меньше и меньше отклоняться от криволинейной поверхности данного тела. Поэтому объем

Рассмотрим частный случай. Пусть дана кривая уравнением

у = /(х).

Будем вращать вокруг оси ох криволинейную трапецию

аАВЬ (черт. 22), соответствующую дуге данной кривой, с кон­ цами в точках А[а, f(a)] и B[b, Тогда получим некоторое тело, которое называется телом вращения.

Заметим, что в этом случае сечение тела плоскостью, пер­ пендикулярной к оси ох и соответствующей абсциссе х, будет круг с площадью

$(х) = *)"[/(• Г-

,93