Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

Скачать файл (3,97Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Следовательно, объем V полученного тела вращения вы разится формулой

V==n J *dx[f(x)]

а
ИЛИ
ь	(IV)
V = тс J* у3 dx.	(IV)

Если требуется найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, которая не представляет криволинейную

трапецию, то искомый объем стараются выразить как алгеб

раическую сумму объемов тел, полученных вращением трапе ций.

Так, например, для объема V тела, изображенного на черт. 23, имеем:

V = VaABb + VbBCc — VаАСс •

Следовательно, если кривые АВ, ВС и АС даны, соответствен

но, уравнениями

У = f (*), № <Р (),* У = Ф М,

то, вычислив абсциссы а, b я с точек пересечения этих кри вых А, В и С, можем написать:

V = « J [/ (х) ]2 dx я J [ ср (х) ]2 dx\— тс J [ ф (х) ]* dx.

aba

Пример 1. Найти объем V эллипсоида

£+£+£eL

дз 1 1 с»

Решение. В сечении эллипсоида плоскостью, перпенди

кулярной к оси ох и соответствующей					абсциссе	х,	получим
эллипс
(черт. 24), полуоси которого равны:
Следовательно,		площадь S(x)	сечения		выразится		формулой
		S (х) = к be	( 1	—
(см. пример 2, § 1).			\	а2 /
(см. пример 2, § 1).
Пользуясь формулой (III),			получим:
а	т de f	1 — —'j dx — к be ( х — — 'lа — — л abc.
V = С	т de f	1 — —'j dx — к be ( х — — 'lа — — л abc.
J	\	a1 J	\		За2) -а	3
—а

Черт. 24. Черт. 25.

Пример 2. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной гипоциклоидой

х== a cos3t,	у — a sin3t.
Решение. Искомый объем	V равен удвоенному объему,

полученному вращением фигуры оАВ (черт. 25). Поэтому

V = 2к J уа dx.

Пользуясь уравнениями кривой для замены переменной в

определенном интеграле, получим:
	У = 2тс J as			slri61 (— За cos’t sin				t) dt —
		2
Я			t dt — — бтс a3				X
== бтс аг j	sin71 *cos		t dt — — бтс a3				J (1 — cos’ t)3 cos’ td cos t=
о				о
	_	, / cos31		3 cos51 .			3 cos’ t	cos91 \		\| 2
		— бтс a3		------ 5		'	7	9	/	\|o
		{	3
	= бтс a3		f—	3,3			1 \ _ 3 2л a3
			\ з	5	7		9 / ~ 105		’
					ПримерЗ. Вычислить объем
					V тела, полученного					вращением
					вокруг оси оу фигуры, ограничен
					ной	параболами
							у = х2 и 8х - у2.
						Решение.		Из	чертежа 26
					видно, что V равен разности
					объемов VoABd и Уосва,полученных
					вращением вокруг оси оу криволи
					нейных трапеций oABd и oCBd.
					Эти объемы выражаются ин-
							d	хг dy,		где х надо
					тегралом тс J			хг dy,		где х надо
							о
					заменить его значением из урав
					нения соответствующей						кривой.
	ЧеРт2б-					Следовательно,
V = п		f у dy —		тс f — dy —			" — — тс	—--—		4	24
V = п		f у dy —		тс f — dy —			" — — тс	—--—		=----- тс.
		J У У		J 64 У			2 0	64-5		о	5
	оо						•
				УПРАЖНЕНИЯ
44.	Найти объем тела,				полученного вращением вокруг оси
ох фигуры,		ограниченной осью ох и одной дугой циклоиды
		х =■ a (t — sin			t),	у = а (1 — cos \t).

45.Найти объем кольца (тора), производимого враще нием вокруг оси ох круга

+(у — Ь)2 = а2 (* > а).

46.Найти объем, полученный вращением вокруг оси оу фи гуры, ограниченной линиями:

уа = х3, х у = 2 и х = 0.

4.Спрямление кривых

Вэлементарной математике рассматривается измерение прямых отрезков и дуг окружностей. Для произвольных кри вых понятие длины дуги и способ ее вычисления устанавли ваются в анализе при помощи перехода к пределу и интегри рования.

Плоской кривой называется множество		точек плоскости,
координаты х и у которых определяются уравнениями
* = ),?(*	у = Ш	0)
t0	t л т,

где <?(£) и ф(/) ■—непрерывные функции на отрезке |/0,

К определению длины кривой мы придем следующим пу

тем, вполне естественным и исходящим из понятия длины от резка прямой.

Пусть нам дана кривая уравнениями (1). Разобьем отрезок [Zo, Т] на п частей точками

< • • . < < • • •	^л ~
Обозначим через Mk точку кривой,	где t==tk. Образуем

вписанную ломаную, вершинами которой будут точки кривой

М., М„ . .	. Mk, . . ,	Мп.
Длину хорды ЛГйЛ4й+1 (6-го звена		ломаной)	обозначим
через ck. Тогда	л—1
	л—1
рп => s
	А-0
есть периметр построенной ломаной.			наиболь
Положим Д^ = 4+1 — tk	и обозначим через		наиболь
шее из всех htk.
Будем неограниченно увеличивать число п элементарных
частей отрезка [Zo, Г], а тем	самым и число звеньев ломаной,

7—295

так, чтобы Д6 а значит, и длины всех звеньев ломаной стре мились к нулю.

Если при Д^ 0 периметр рп вписанной в кривую ломаной стремится к определенному пределу, то кривая называется

спрямляемой, а

5 = lim р

— длиной кривой.

Рассмотрим сначала кривую АВ, заданную уравнением

	у = f(x),	а < х < Ь.	(2)
(Здесь за параметр взята		абсцисса х точки кривой.)
Докажем,	что если функция f(x) на		отрезке [а, Ь] имеет
непрерывную	производную	f'(x), то кривая АВ спрямляема.

Действительно, разобьем отрезок [а, 6] точками а = х0< х,<. . . <хА< . . . < хп = b

на элементарные отрезки [xft. -vfr+i ]. Затем построим вписан ную ломаную, вершинами которой будут точки кривой

Д = х0, f (х0)], Л1, |х1, f (хj)J, . . ., Mk [хк} j • • •

. . . , Мл[хп, f(x„)] = В.

Периметр ломаной равен

Л—1

Рп~ J] ск,

*-о

где ск — длина хорды 7ИЛЛД+1 , причем (черт. 27)

ск =*К(л +1 — *)х 2+[ДхЛ+1 ) — /(*Др .

Но по теореме Лагранжа:

f(Xft+i )— f(xh) = (Xfe+i —

где — некоторая точка отрезка [xh, xk+i ]. Поэтому

п—1

Рп = J/ЖГО2	Ж ^Хк =Хк+, -Хл).
к-0
п—1 _________	есть интегральная сумма ^.ля
Сумма £ у 1 +[//(^)]2 ДхА	есть интегральная сумма ^.ля
д-о

непрерывной функции ]/1ф- [/'(х)]2 на отрезке [а, Ь];

поэтому

	л-1 ь
lim рп = Нт		/14- №)] 2дд= f/Г + .[f'WN
Д*-»0	Дл:->0 " '		J
	Д-0		а
Следовательно,		кривая АВ спрямляема и ее		длина s
выражается	формулой
		ь
		s = J/I+ITW^
ИЛИ		а
		Ь	____________
				(V)
		Н/ЧЖ
		а
Рассмотрим дугу AM кривой (2)			от точки А до переменной