Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 76
Скачиваний: 0
торых коэффициенты обозначают буквами, считая их неопре деленными.
Затем элементарные дроби в правой части равенства (1) складывают, приводя их к общему знаменателю, который бу
дет равен Q(x).
В результате этого получится равенство |
|
|
|
|||||
|
|
Р(х)_ = Т(х) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Q(x) |
Q(x) |
’ |
|
|
|
|
где Т(х)—многочлен |
степени |
п—1, |
если |
Q(x)—степени |
п. |
|||
Коэффициенты Т (х) |
представляют линейные комбинации |
из |
||||||
неопределенных коэффициентов элементарных дробей. |
тож |
|||||||
Из равенства |
(2) |
следует, |
что |
должно |
иметь место |
|||
дество |
|
Г(х) = Р(х), |
|
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
||||
а это будет лишь в |
том случае, когда |
коэффициенты |
Г(х) |
|||||
равны соответствующим коэффициентам Р(х). |
|
|
||||||
Следовательно, |
п коэффициентов |
элементарных дробей |
||||||
должны быть найдены из системы п линейных уравнений, по
лученных путем приравнивания коэффициентов при одинако вых степенях х в левой и правой частях равенства (3).
Система эта имеет определенное решение, что вытекает из
» |
л |
р |
на сумму элемен- |
разложимости рациональной |
дроби |
^-7-4 |
V \Х)
тарных дробей.
Из формулы (1) видно, что интегрирование рациональных дробей приводится к интегрированию элементарных дробей
следующих четырех |
видов: |
|
|
||
1 \ А |
9) |
А |
• 3) |
Mx + N , |
. s Mx + N |
х—а’ |
|
(х — а)“ ’ |
х2рх-у д ’ |
(х^рх+д)4 |
|
Рассмотрим интегрирование |
в этих четырех случаях. |
||||
Случай I.
I —-— dx = A In lx — а\ -4- С.
Этот результат прямо следует из формулы (VI') таблицы основных интегралов.
Случай II.
С—-—dx —------- --------—г -f- С.
(1—а) (х — а) 1
37
Вэтом случае интегрирование выполняется по формуле
(V)таблицы основных интегралов. Действительно,
I А dx — A |
I (* ~ ” d{x — а) — |
= A --(х~а)-8+1.. 4- С=--------- -------— 4- С. |
|
— а+1 ' |
(1 — а) (х - а)а~' |
Пример 1. Найти
dx
fх» — а*
Решение. Знаменатель подынтегральной дроби разла гается на линейные множители х—а и х-\-а. Поэтому
1 |
_ А |
в |
х1 — а2 |
х — а ’ |
х а ' |
Приведя правую часть к общему знаменателю, получим:
1 _ (Л + Д) х + а (Л - В) |
|
|
х2 — а2 |
х2 — а2 |
’ |
откуда следует тождество |
|
|
(4 4-В)х4-а(Д= |
|
|
Приравнивая коэффициенты при |
одинаковых |
степенях х из |
левой и правой части этого тождества, получим
А 4-Д = 0,
а(Д —5)=1.
Решая полученную систему уравнений относительно А и В,
найдем:
Поэтому
= |
2а |
In |х — а\----- — In |х 4" |
+ С == —~ *п |
х— а |
4- с. |
||||
|
1 |
1 |
2а |
1 1 |
1 1 |
2а |
х + а |
|
|
38
Следовательно, в таблицу основных интегралов мы можем включить формулу
f= |
|
|
+ С |
(XVII) |
||
] и2 — а1 |
2а | |
и — а | |
1 |
' |
' |
|
Пример 2. |
Найти |
|
|
|
|
|
|
С... |
х(х — I)1 |
Зх. |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
Решение. |
Положим |
|
|
|
|
|
6х2—Их+4 _ Л ■ |
В |
, С |
|
|
||
|
X (х — I)3 |
X ’ (X—I)2 "Г" X — 1’ |
|
|
||
где коэффициенты А, В, |
С пока |
неопределенные, |
их |
надо |
||
найти.
Складывая дроби в правой части этого равенства, приведя их к общему знаменателю, равному знаменателю данной дро би х(х—I)2, и приравнивая числитель, который получится в правой части, к числителю левой части, получим тождество:
А(х — 1)а -J- Вх Сх(х — 1) — 6х2 — Их + 4,
или, что то же:
(Д 4-См2 + (В — 2Л — С)х 4-Л = 6х2 - Их-4 4.
Поэтому искомые А, В и С должны удовлетворять уравне ниям:
А4- С = 6,
В— 2А — С = — 11,
Л= 4.
Решив эту систему уравнений, найдем:
А — 4, |
В^-1, |
С = 2. |
||
Следовательно, |
f —- f—=V+2 f-^T = |
|||
f |
||||
I x(x—1)» |
1 X |
1 |
(X — I)2 |
IX — 1 |
= 41n | x | 4----- Ц- 4- 21П | x - 11 |
+ C = |
|||
|
xt 1 |
|
|
|
= |
+ In |
*(x[x |
- 1)’]+C. |
|
39
Случай Ш. Найти
Mx + N ,
—n—~;— “X. x3+px + q
Воспользуемся следующими преобразованиями:
Корни трехчлена х2-|-рх-|-<7—комплексные, иначе он разла
гался бы на действительные линейные множители, а подын тегральная дробь—на элементарные дроби, рассмотренные в случае I. Поэтому знак трехчлена не меняется и совпадает со знаком коэффициента при х2, то есть х2-|-рх+^>>0 для всех
х. По формуле (VI) таблицы основных интегралов
d (ха + рх + д) |
= In (х’ 4- рх -К q) + с. |
*рх -{■ q |
|
Учитывая затем, что корни трехчлена x2-fpx-\-q выражают ся формулой
мы видим, что они будут комплексными при — поэтому в рассматриваемом случае
q - £ > о.
4
40
и для вычисления второго из полученных интегралов приме
нима формула (XIV') таблицы основных интегралов:
Следовательно,
Mx + N |
dx = ~ In *(х 4- рх + q) + |
|||
х3 + рх + q |
||||
|
|
|||
|
™-Мр |
2х+р |
||
Пример 3. |
Найти |
|
|
|
|
|
|
_ dx |
|
|
|
|
ф.‘______ |
|
|
|
|
х’ 4- 1 |
|
Решение. |
Замечая, |
что |
||
х3 4- 1 = (л + 1) (xs — х + 1);
положим
1 __ А |
Вх 4~ С |
х3 4- 1 ~~ Х4-1 |
х» — X + 1 ’ |
где А, В и С подлежат определению. Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю и приравнивая числи тели левой и правой частей, получим тождество
А (х1 - х + 1)4+ (Вх + С) (х 4- 1) = 1,
или, что то же:
(А + В) х’ + (В 4- С - А) х + (Л 4- С)= 1.
41
