Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

Mx + N .

----------- 1

----------ах.

(х* + рх

+q)

Данный интеграл

преобразуем:

Mx+N

, __

*г

Мр

Мр

_

--/- + * „

(Л2+рх+?Г йХ

{x»+px + qy

Х

(2х 4-р) dx

■ /

Л4/>\

_____ dx_____

(х2 4- рх + qY ~Г \

2 /

(x2+px+qY

Первый из полученных интегралов берется по формуле (V)

таблицы основных интегралов:

(2х 4~ р) dx

(*х

+ рх + д)-' d(x2 + рх-\-

(х2 4- х + <?)'

'ъ

(х2+рх+ q)~'l + i,

с

___________J_____________. Q

-v + 1

(1-,)(х’+/« + 7)''“‘

JL

+ д2> ~ *2 dz =

a2 I

(zs 4- а2У

1

1

dt___________ 1_

I

z2dz

Т2

1

(z» 4- а’)’-1

а2

] (z2

4- )а* 4

и = z,

,

zdz

dv —------------— ,

(z2

4- a.2Y

du = dz,

zdz

1_________

*( a + «2)v

2 (1 — 4 (z2 4 a2)’-1

z2dz

__

z

__

1

I

____ dz

(z24a2)’

“ 2(1 —4 (z« + a2/-1

2(1-4

)

(z2 4 a2/-1 '

Поэтому

j__ 1

_____ dz______ ___________z

~____________

—■] (Z2 4- a2)’-1

2a2 (1 — 4 (z2 + л2)’-1 ‘

1

dz______ ______________ z_______

2а2 (1—4

(z2 + a’)’-1 ~ 2а’ (■> — 1)

(z2 + a2)v-1

3 —2ч

dz

2a2 (1 — 4

(z2 + a»)’-1

Такими же преобразованиями вычисление полученного ин­

теграла

dz

(z2 4 a2)v“‘

можно свести к интегралу

dz

(z2 4 а2*~)' 2

Продолжая этот процесс, мы, в конце концов, придем к

табличному

интегралу

I

dz

1

,

z

. п

I

---------- =

— arctg-------к С.

\

z2 + а2

а

&

а

1 — х —х3

Ах + В ■

Сх-\- D

(х2 + 1)2

”(д2 4 I)2 ’

х» + 1 ‘

С = — 1,

D = 0, Д

С = — 1,

В + D=l,

откуда и находим коэффициенты элементарных дробей

А — О,

В — 1,

С—— 1,

D = 0.

Поэтому

f (l-x-x’)dx_ С

dx

Г

xdx

_ f____

J («■+!>■

J

7?+~i7

J

«’ + >

2ln,x^I)

где

у __ (

dx

'

J

__ dx______ Г

(х2 + 1) — х2

Г dx

Г x2dx

(х2 + 1)2~ ]

(хг + 1)’_________ I

х2Ч-1____ I

(х2Н-1)2

и — х,

dv —

xdx

откуда

du = dx,

2 (%2

+ 1)

’

X2rf X __

X

I

1 ( _ dx

(x2 + Tj2

""

2(x2-f-l)

]

x2 + 1

=

х

"

ill

dx

x

I

1

4

j

I

—|-----

I

---------x24-1

=----------

+ l) -

— arctg x -4— C.

2(x24- 1)

1

2

2(x2

2

&

Следовательно,

(1 — x — xs) dx

(x2 + l)2

—-

+----l)

4- — arctg x------

— In (x2 -j- 1) 4~ C.

2(x2

~

2

6

2

v

’

1

j

x4 4- 4x2 4- 4

C

(3x *4 2) dx

22.

(x2 — 3x 4- 3)2 '

]

Действительно,

из этого равенства находим:

ах + ь

---------== г;

+ bL

ах

b = zn (а,х 4~ b^,

ах — aYz’lx = bxzn — b\

Л ■

b}zn — b .

———_ _-- —— *

a — axzn

nbxzn 1 (a — aizn')-\-nalzn 1 (blzn — b)

(a — a,zn)2

а после упрощения

dx =

(a — a^z”)2

*.

Отсюда

fr,z" — b

z

a — a,zn

n(ab1~a1b)zn

d

f fl

(z) dz,

Л

(a-a^)2

J

' V

’

где

функция /?k(z) — рациональная, так

как для ее получе­

ния

мы подставили в

рациональную функцию R(x, у) вме-

сто х и у

выражения,

соответственно,

b.zn — ь

z, содер-

- --------

и

жащие только целые степени г, а

а — а^гп

затем

результат умно-

жили на рациональную дробь

п (abi — a,b) zn~l

поэтому z

----

т-—„

)

-----,

\(l ~~~~ u^Z

в Ri(z) не может оказаться под знаком радикала.

Следовательно, полученный интеграл вычисляется как ин­

теграл от рациональной функции.

Пусть

J R^dz = F(z)+ С.

Тогда искомый интеграл

f R (х, \ f

\dx=F(\/ ах + b -

+ С.

J

у

I/ aYx + £>!

/

у у О'Х + bt

у

Рассмотрим частные случаи.

1. Пусть ai—0,

bi—i. Тогда данный интеграл примет вид:

j R (х,

Уах -|- b) dx,