Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

а подстановка, приводящая е*го вычисление к

интегрирова­

нию рациональной функции, будет выражаться

равенством

ах 4- b — zn.

Учитывая это,

положим

x = z6. Тогда

х4 -~г\

x& = zs,

dx — 6z5dz,

z «=

Ух

-

6 _ ,

Следовательно,

/ у3

у2

\

=:6(т+т + г + 1п1г“10+с =

\ О

Z

/

/1

___ 1

3 _ 6_

6

ч

= 6

/х 4- -у Ух 4- Ух + In \Ух

- 1|) + С.

Решение.

Положим

x — 2 = z’.

Тогда

г = Ух — 2,

x = г’ + 2,

dx — 2zdz.

Следовательно,

Г (x +1) dx

*(z

+ 3) 2zdx = 2

dz=

*(

’

+ 2) x

хг+ 2

= 2 I dz

2

dx

2

X

/2

= 2/л-2+/2 arctg

+ C.

УПРАЖНЕНИЯ

23.

24.

dx

/(x — 1)6 + 2x - 2

25.

8. Подстановка Эйлера

Рассмотрим

интегралы

вида

р? (х, Уах2

Ьх + с

) dx,

где Я(х,

Уах' -|- Ьх

с )

— иррациональное выражение,

но такое, что, заменив в

нем

Уах2 -|- bx -f-

с через у, мы

получим функцию /?(х,

у),

рациональную

относительно

обоих аргументов х и у.

4-295

49

функции) при помощи следующих трех

подстановок.

Эйлера.

1-я подстановка Эйлера.

Пусть a^>Q. Положим

фОгх2-)- bx

— z —

х ,

(1)

где z — новая

переменная.

Возведя в

квадрат обе части равенства (1), получим:

ах* -|- bx -ф с = z* — 2

zx *,ах

Дифференцируя, находим:

~ 2

*( 2 — с)

dx = 2г (2

г

л

dz.

Новая подынтегральная

функция Ri(z)—рациональная,

так как для ее получения

мы подставили в рациональную

функцию R(x, у) вместо х и у выражения

z’—с

+ bz+c Уа

l/a г+b

2 Va z + b

2 (Уa z* + bz + с \га )

'

(2/az + Z-)’

Полученный интеграл вычисляется по правилам интегри­

рования рациональных функций.

Пусть

J Rx(z}dz = F(z) ф-

С,

Тогда, выражая z из подстановки

(1) обратно через х:

найдем:

z ■=■ Уа х -|- Уах*

4- Ьх 4- с

,

j R [х, Уах*

4- Ьх 4- с }

dx =

= F (Уа х 4~ Уах2 4~ Ьх 4- с ) 4~

Пример 1.

Найти

Решение. Пользуясь

1-й подстановкой Эйлера, положим

Отсюда

*Ух

4" а*

— z — х.

Л:* 4- *а

= г*

— 2zx 4- х8,

z1 — д’

X = ---- й------ 5

.

+ аг

,

1

—Г

2z

z* — а*

*г +

dx —----- 1-----dz;

2zs

1Г»

Следовательно,

dx

__

F*1

<»• + а,)

21

<fe= f

= 1п|г| +

1

Ухг + д’

1

2z‘ (z« + д’)

J

z

4*

51

Таким же способом

можно убедиться, что

dx

= In | х -J- Yх2 — а* | + С.

Vх1 — аг

Эти результаты позволяют включить в таблицу простей­

ших интегралов формулу

j у= In

+

(XVIII)

2-я

подстановка

Эйлера.

Пусть

корни

трехчлена

ах2-{-Ьх-\-с действительные.

Обозначим

их через аир.

Тогда

Ках2 -f- bx + с = Ya (л — а) (х — ) .

Положим

Va(x — а) (х —

= Ya (х — а) z

(2)

[коэффициент а будем считать

положительным, так как при

а<40

можно написать ах2-}-Ьх-\-с=а'(х—а)(р—х), где

— Cd/ ag, — P

■’

Va (a- )z \ 2(р—а)£

С

J

z»-l

я3-1

/ *(ж -1)3

j Я1(г)^г>

Пусть,

пользуясь

правилами

интегрирования

рациональ­

ных функций, мы нашли:.

J R,[z)dz = F(z) + С.

Тогда, выражая z из

подстановки (2) обратно через х, полу­

чим:

R (х, У*ах + bx с) dx = F

) + С.

Пример 2.

Найти

dx

]

(2х — 1)/х — х2

Решение. Пользуясь 2-й подстановкой Эйлера, положим

Ух (1 — х) — xz.

Отсюда получим:

поэтому

л(1 — x) — x2za,

1—х = хгг;

х =----1

Izdz

’

(я2

+ 1)‘

о

1

1

—

:г-

z

2х —

1 =-------

Следовательно,

(

dx

о

I

dz

.

— 1

+ с.

I

-------------г

=» 2

------ -= In z

1

(2х — 1)

х2

I

z1— 1

2 + 1