Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
3-я подстановка Эйлера выражается равенством
У*ах 4- Ьх + с — Ус — xz.
Эта подстановка применима в случае с>0 и опять приво дит к уравнению 1-й степени относительно х, а поэтому дан
ный интеграл — к интегралу от рациональной функции.
Заметим, что уже первых двух подстановок Эйлера доста точно, чтобы любой интеграл рассматриваемого здесь вида привести к интегралу от рациональной функции.
Действительно, если а>0, то применима 1-я подстановка.
Если же а<0, то корни трехчлена ах2-ф&х4-с |
должны быть |
|
действительными, так как в |
противном случае |
ах2-\-Ьх-\-с<Э$) |
и значение V ах2 -ф Ьх -ф с |
—комплексное |
для всех х, а |
мы рассматриваем здесь только действительные функции от
действительного аргумента. Следовательно, при а<0 можно пользоваться 2-й подстановкой Эйлера.
|
|
УПРАЖНЕНИЯ |
26. |
г |
___ . |
] |
лфх22х ф4 |
|
27.j Y^-.XL dx.
9.Другие способы интегрирования
Впредыдущем параграфе мы убедились, что неопределен ный интеграл от любой функции, не содержащей иных ирра циональностей, кроме квадратного корня из квадратного трехчлена, приводится к интегралу от рациональной функции
при помощи одной из подстановок Эйлера.
Однако следует заметить, что часто для вычисления инте гралов такого вида применять подстановки Эйлера нецеле сообразно, так как для них можно найти другие способы ин
тегрирования, которые приводят к цели гораздо быстрее. Рассмотрим некоторые из таких интегралов.
Интегралы вида
f |
. |
(I) |
I |
Уax‘ -ф bx -pc |
|
Такие интегралы вычисляются непосредственно по форму |
||
ле (ХНЕ) или (XVIII) |
таблицы основных интегралов. |
|
54
Пример 1. Найти
dx
/х2 — 4x4- 1
Решение.
dx |
d(x-2) |
Ух2 — 4х 4- 1 |
У(х — Ч)2 — 3 |
ж 1п | х — 2 4~ У* 3 — 4х 4~ 1 I -г С.
Пример 2. Найти
Рdx
1 /Зх — 2х2 — Г~
Решение.
3
1 |
Х~ 4 |
|
г |
1 |
. |
„ |
|
г |
= —т=- arcsin |
--------------4- С = |
arcsin (4х — 3) 4- |
С. |
|||||
/2 |
1 |
|
|
у-2 |
' |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
(Мх 4- N) rfx_ |
|
|
|
щ |
||
|
] |
Уах2 + Ьх + с |
|
|
|
|
||
Такие интегралы приводятся |
к интегралам вида |
(I) |
сле |
|||||
дующим путем: |
|
р |
/ |
|
мь |
|
|
|
р |
|
мь \ |
|
|
|
|||
■ I__ (Мх 4- N) dx_ __ |
\ |
[Мх 4----------------— 4-N |
|
в |
||||
I |
\ |
2д / |
2а |
|
||||
1 Уах2 4- Ьх 4- с |
] |
|
Уах2 4- Ьх 4- с |
|
|
|
||
55
M I |
(2ax 4- b) dx |
|
|
Mb_ \ |
dx |
|
2a | Уахг + bx4- c |
|
|
2a / ] |
Уax1 + bx -|-c |
||
|
|
|
|
|
|
______ dx_______ |
a |
|
|
|
|
|
У ax1 + Z>x + c |
Пример 3. |
Найти |
|
|
|
|
|
|
|
I |
(x— l)rfx |
|
|
|
|
|
1 |
У2x* -|- 4x 4- 3 |
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
1 |
(x — V)dx |
|
_,(x+_1)_-2_ dr_ |
|||
|
|
|
|
/2x2*-+- 4x + 3 |
||
1 |
1 |
(4x + 4)dx______ g |
|
dx |
||
4 |
] У2х’+ 4x + 3~ |
1 /2x2 |
+ 4x 4- 3 |
|||
= — ]/2xl 4- чх 4- 3 |
- 2 |
-7=^=- == |
||||
2 |
|
1 |
1 |
_ |
/2(х+1)2 4- 1 |
|
|
|
|
|
2 |
d /2 (x + 1) |
|
2 |
|
|
|
/2 |
|
|
= 4- V2**+ |
4x-+ 3 - /2 In |]/2 (л 4-1) +l/2x24-4x+3"l4-C. |
|||||
Интегралы вида |
|
|
|
|
||
|
|
_Pn(x)d^ |
|
|||
|
|
|
Уахг -f- bx + c |
|
||
где Pn (x) —многочлен степени n. |
|
|
||||
Такие интегралы можно |
вычислять методом неопределен |
|||||
ных коэффициентов, который заключается в следующем. |
||||||
Допустим, что |
|
|
|
|
||
гтаУг *-=(+ЛХ, -+. |
|
. .+л.)х |
||||
X *Vax |
+ bx +с 4- Лл+1 J Уах~+ bx^T ’ |
|||||
и попытаемся найти коэффициенты А1г Аг, . . . , Ая+1 .
Взяв производную от обеих частей равенства (1), получим:
- |
-1) Atxn~3 + (я - 2) Д2хл-3 +...-+ Л„_1] X |
|||||
У ах* + Ьх + с |
|
|
|
|
|
|
4" bx -J- с 4~ (AiXn~l 4- А2хп~3 + • |
• |
• 4~А.) X |
||||
|
ь |
л |
|
|
|
|
у |
ах + о |
— . |
(2) |
|||
2 _____ I------- я+1 |
||||||
|
Vах2 4- bx -t с |
Vах2 + Ьх + с |
|
|
|
|
Правую часть |
равенства (2) |
приведем к общему знаме- |
||||
нателю, равному знаменателю левой части: |
Vах3 4- Ьх 4~с . |
|||||
После этого и числители обеих частей должны |
быть рав |
|||||
ными, то есть должно быть справедливо тождество |
||||||
/>„ (л) = [(/» — 1)Л/-2 + («-2)Л/“34-. |
|
• |
• |
+ Л-1 1 х |
||
X (ах3 4- Ьх 4- с) 4- (А,хп-Х + Д2х"-2 + . |
|
. |
. 4- Д„) X |
|||
|
X (ах 4- -у) 4- Дл+1 , |
|
|
|
(3) |
|
обе части которого — многочлены одной и той же степени п. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в
левой и правой части (3), мы получим п-\-\ уравнений, из ко торых коэффициенты Ah A2,...,An+i находятся последователь
но: сначала Дь затем Д2 и т. д. |
|
Дь Д2...,ДЯ+1В правую |
|
Подставив найденные |
значения |
||
часть равенства (1) и вычислив |
интеграл |
||
|
Г |
dx |
_____ |
I |
Yах* -|- Ьх + с |
||
рассмотренного выше вида (I), мы найдем интеграл (III). Пример 4. Найти
Р*(х — 1) dx
] КЗ + 2х -^~х~ '
Решение. Положим
(х2 — Y) dx |
= (Д1х4-Ля)/3 4-2х - х3 |
4- |
|
/3 -F 2х — х2
dx
/3 -f- 2х — х2
57
Возьмем производную от обеих частей этого равенства:
=4/3+2х-ж-+(Л,л + А)Х
у о “i лл |
— л |
|
\/ |
\ — X |
I |
|
/3 4- 2х — х*~ |
/3 -р 2х —х* |
Приведя к общему знаменателю и приравняв между собой чис лители, получим тождество
хг — 1 = Л, (3 + 2х - х») 4- (Atx 4- Л.) (1 - х) 4- At.
Приравнивая |
коэффициенты при одинаковых |
степенях х |
в правой и левой |
части этого тождества, получим |
уравнения |
~2Л1=1,
ЗЛ1 - А, - О,
ЗЛ1 + Л, 4-Л - 1-
Из первого уравнения находим
Зная At, из второго уравнения найдем
Л, = -— .
г 2
Наконец, из третьего уравнения найдем
Л, = 4,
Следовательно,
f J* 8--1)** = _ J_ (х 4- з) /3 4-2х-^х~4-
+= - ТU + 3> + +
4- 4 [ —/3 4- 2х —ха 4-
4~ 4 arcsin -5 ~1 |
-U С. |
||
1 |
* |
2 |
1 |
Интегралы вида
Г______ Рщ М dx
J (х — а)п у''ах2 -|- Ьх -|- с
58
