Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

Скачать файл (3,25Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

или, подставив вместо р 1 его значение, согласно (11.50), и объеди нив одинаковые члены в соответствии с (11.38),

П—1 ~~2

		п	- ( ^ )
м	=	v — 1
			п— 1

~2~

v=l

При чётных значениях и вместо

(11.53)

F (и) следует рассматривать

F ( и -f

и в этом

случае ф-ла

(11.48)

имеет вид

= F ( “ +

7 ” )

(— 1)2 Р- ' n

, 2v — 1

s n ( u - \

-------- o)]. )X

V =

2 v — 1

(11.54)

X sn C“— — ш4

Тогда,

применяя

равенство

(11-47)

и полагая

= — =

= sn

/Cl*-),

можно получить

sn2( п р ч

sn2«

(11.55)

s n (

+ ^

)

“

1— /г 2sn2

sn2 и

V = 1

Из рис. 11.46 видно, что

F(0+ т

)

=Р П 5П ( ^

“>1

)

(1Т56)

ИЛИ

v=Q

-1

__ /Ъ +

__ =

F I sn

(s r i ' ) - n

iri,(sr

1- >

<11'57)

I I

Тогда

v=0

sn2 U

/ 2v — 1

1—fe2 sn! (Ъ —1

(11.58)

( —

K r

Таким образом, при делении первого главного периода функ ции snu с модулем k на п частей получаем новую эллиптическую функцию с модулем X, определяемую формулами:

					—	1-		sn3 и
					—	1-	/	— i		\
					2		/	— i		\
					2		sn*			« )
	sn( i + * - 0 - n .						( —			« )	(11.59)
	sn( i + * - 0 - n .							2v_ 1		\	(11.59)
					= 1 1 — k1 sn3 ^ --------- K j sn3 и
для четных		п и						sn3 и
				п -1		!— .		sn3 и
	sn ( — , хЛ =				2		SIT
	sn ( — , хЛ =				FI		SIT	е	л		(11.60)
		\м	)	м 11					/(^ sn3 и
					I — k3 sn3 ^ —				/(^ sn3 и
для нечетных п, где
					2
			у\ = £"FIsn2(				„	к)*			(П.61)
			у\ = £"FIsn2(				„	к)*
				"		/ 2 v —	1 \
				2	sn3(		К)
				м =		. . . .	.	■			(11.62)
				п		. . . .	.	■
причём	в	формулах		(11.61)	и (11.62) при				нечётных п		следует
вместо	- у	брать		• Соотношение между					периодами		функции
(11.58)	или (11.60)		и функции sn (и, k) следующее:
				К (>-) = ^		=	пМ				(11.63)
				л ’	п!Л		пМ
				К' (> )	= ^м		К				(11.64)
				К' (> )	= ^м		м

12. ТРЕТЬЯ ЗАДАЧА ЗОЛОТАРЁВА

Экстремальным свойствам рациональных дробей посвящены третья и четвёртая задачи Зслотарёга 1Л8!. Связь между этими задачами и методика получения решения задач, сходных с задачами Золотарёва, были даны Ахиезерсм !Л2|. Наибольшее применение в технике связи имеет третья задача Золотарёва, положенная в осно ву современных методов расчёта фильтров |Л20], 1Л9|, |Л14|.

Третья задача Золотарёва может быть сформулирована следую щим образом.

Найти рациональную	дробь
у = РоП-Г Pi" ~ 1+ •■• + Рп _		( 12. 1)
+	Ях3^1~~' + •••+<?/!

степень числителя и знаменателя которой не превышают л и зна чение которой не превышает заданного числа |Lj при изменениях х в промежутке [— х, xj, где |х| < 1 и не меньше величины

-j- при изменениях х в промежутке [ + k, ± оо], где |&|>1,

причём L— величина малая.

Обычно принимают k — — и условиям третьей задачи Золота-

рёва удовлетворяют такие функции, которые при замене х на х~1 принимают обратные значения. Среди функций (12.1) этому усло вию удовлетворяют дроби, числители которых содержат либо толь ко чётные, либо только нечётные степени х

	xim + Plx2m- 2 + .			+ Рт				( 12.2)
								( 12.2)
	Я0 х 1т +			• ■ ■+ Я т
или
	х (х * т+р, х2т ~ 2 + . ■. + Р-,)							(12.3)
	Яох‘гт "Ь			• •• ~\~Ят.				(12.3)
	Яох‘гт "Ь	X2		• •• ~\~Ят.
и которые приводятся к виду
	П
	У = п							(12.4)
								(12.4)
для чётных п	или
	п—1
								(12.5)
для нечетных	п.		заменить х			на х~ 1,
Если в выражениях (12.4) и (12.5)			заменить х			на х~ 1,		то вме
сто функции у будем иметь у~х .		Раскрывая			знак		произведения,
т. е. производя перемножения, после			приведения			подобных		членов
мы придём к выражениям вида (12.2)				и (12.3)			в виде (12.4)
Таким образом, решение задачи следует					искать		в виде (12.4)

и(12.5).

Вперзом из указанных промежутков [— х, -f- х], в котором функция у должна наименее уклоняться от нуля, очевидно долж ны располагаться все нули числителя; при этом знаменатель не

должен иметь нулей в этом промежутке. Ввиду того, что числи тель искомой дроби есть полином степени не выше п, число экстремальных значений функции у в первом промежутке, в соот ветствии с теоремой Чебышева, должно быть не менее п -{- 1. Из них две точки принадлежат границам промежутка ± х, а остальные точки лежат внутри этого промежутка. Эти внутренние точки xL, при которых у = ± L и которые не являются границами промежутка, являются двойными корнями уравнения

( y - l ) ( y + L) = ( ^ - Z * ) = 0,

(12.6)

так как в этих точках производная — обращается в нуль. На dx

границах промежутка при х = ±% производная — в нуль не

дх

обращается, и эти точки являются простыми корнями ур-ния

( 12. 6) .

Во втором промежутке [— оо, — k] и [ -f- k, -}- оо] узлами яв

ляются точки, в которых у — ± -j- . Между этими точками рас

положены нули знаменателя. Поскольку степень знаменателя рав на п, число узлов должно быть не менее n-j- 1. При этом в /г — 1 внутренних узлах уравнение

( y - L - )	(у + £ Г ,) = (у‘ - 1 Г 2)=	0	(12.7)
должно иметь двойные	корни, а на границах	промежутка при

х = ± k это уравнение должно иметь простые корни. Следователь но, можно составить уравнение

(y* -L *)(y* -L ~ *)=


-	с ( ' - f ) 0 + f ) 0 - 4 ) ( ' + f			) (!)'•	<12-8>
где С — постоянная величина.		Произведение в левой части			ур-ния
(12.8)	имеет 2п — 2 двойных	нуля	в обоих	промежутках,		при
которых обращается в нуль		,	и четыре	простых нуля,		при