Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

Un{x )<

I

(6. 21)

У 1- х 2

Максимальное значение |Uп (х) |достигается

на границах основ­

ного

промежутка, т.

е. при х = + 1_и не

превышает величины

in +

1). На рис. 6.4 приведён

график функции Ue(x).

-7 -г

' 4? Среди

всех полиномов

С

Р (х) степени л, имеющих коэф­

фициент при

хп, равный еди­

5

нице,

полином

? « ( * ) = - ф г Т „ ( х )

(6.22)

шах гп (х) I = Тя (cos

( - 1)”

(6.23)

1 Рп W I < 2п- 1

( —

1 <

х

<

+

1),

то разность R (х) = Тп (х) — Р (х)

была бы полиномом степени п — 1

и удовлетворяла бы условию

cos

—

)

>

0.

(6.24)

5.

Среди всех

полиномов Р(х) степени п, имеющих коэффицие

при хп, равный единице, полином Тп (х) = —

Т„ (х) обращает в

минимум интеграл

Г 1

Рг (*)

J

yi-x2dx.

(6.25)

—1

Допустим,

что

полином Р (х) разложен

по полиномам Тт(х)

р { х ) ^ ^ с тТт{х).

(6.26)

•т=0

Учитывая,

что

Т

(х) =

у — 2п~х f (х),

получим

Р„(х) = c e У ± . 2- 1Т0 (х) + Ci y rA

2o f 1(x) + . . . +

Д С „ ] / А

2"“ ' Тп(х).

(6.27)

Чтобы Рп{х) имел коэффициент при хп,

равный единице

[как и

Тп (х) ], необходимо положить

:„ = ] / — г’ - 1 = 1

или

С'. = V t

Ф ? ( " >

' ) •

(6.28)

у

С2 .

(6.29)

771

т =0

Очевидно, минимум интеграла (6.25) будет обеспечен, если поло-

жить

(6.30)

Св = Сг =

. . . = С„_! = 0,

т. е. если

Р„(х) = СпТп(х) = Тп(х)

(6.31)

или

Р п ( х ) = ~ = г Т п(х).

(6.32)

ТС

7С

(6.33)

2•22п~ 2

22п~

1 '

ЧЕБЫШЕВА

Задача 1. Найти

полином

степени п, наименее

уклоняющийся

от

нуля в промежутке [— 1,

1] и принимающий заданное значение

В вне этого промежутка.

Искомый полином может быть записан в форме

Р(х) = В +

(х — t)Q(x) (; > + 1 или <

— 1),

(7.1)

где Q (х) — полином степени п — 1, а %— точка на оси х, в которой

полином Р(х) принимает значение В.

Таким образом, необходимо обратить в минимум величину

max I Рх |= птах

|х — $ | -----------Ь Q U) .

[~ 1. -И]

[- 1 .+ 1 ]

х — $

т.

В

посредством по­

е. найти наилучшее приближение функции

Задача 2. Найти

полином

степени п, который в промежутке

{— 1, + 1] наименее

уклоняется

от функции —-— ■, где а > 1.

Рп (х)

-------- /?(* )=

1

2ап+2

V ^

у —п 1 —а V

— -----------V"

\—aV

— V

где

х — а

х — а

(1 — а2)2

а = а — Y а2— 1

(7.7)

(7.8)

V = x + Y ^ l \

Ввиду того, что R(x) есть рациональная функция от х, причём

числитель R (х) есть полином степени п +

1 и

Пт {х — a) R(x) .— 1,

(7.9)

я—а

можно утверждать, что Рп (х) есть полином

степени п с веществен­

ными коэффициентами.

При

изменении х от -f- 1 до

— 1,

точка V описывает

верх­

нюю

полуокружность |V| = 1 в

комплексной плоскости (рис. 7.1).

При

|VJ =

1, т. е., когда х

изменяется в промежутке

[ — 1,

выполняется равенство

Рис.

7.1 График переменного V = х +

Vя j __ ау

V _п 1—я V

+ i |/1— х2 при

изменении х в про­

a ^ V

(7.Ю)

межутке (— 1,4-1')

и величина R(x)

численно не превышает значения

I —

4 а"+2

(7.11)

~

( 1— а2)3

Это экстремальное

значение

R(x)

принимает в случае,

когда!

аргумент функции V"------—обращается

в 0

или

г..

-aV

Очевидно, R(x) =

L при arg

Vя 'i—*v

=

0 и

R (х) == — L, при

arg

а — V

]/п[

\—а V

■V

Функция Vn

имеет в круге

|1/( < 1 кратный нуль в точке

V= 0

1— а V

и простой

нуль V — а.

1, V описывает верхнюю поло-

Когда х изменяется от 4- 1 до —

вину

окружности Vj =

1, a arg \Vn ? - V

увеличивается от

-к да

1—aV