Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
Таким образом, коэффициенты Fj и Г2 полностью опреде ляются через посредство Г,й и Г2ь которые известны, и без размерный параметр а (число Струхаля), функцией которого
являются величины 5 |
и С. |
Очевидно, что, зная Гх и Г2, мы, |
||
согласно формуле |
(49), найдем значение циркуляции Г для |
|||
любого момента времени. |
|
|
||
Из формул (52) |
видно, что они представляют собой соот |
|||
ветственно действительную и мнимую части выражения |
||||
Г, - гГ2 = Г1к - гГ2* - h (Г, - гГ2) (С - iS) , |
||||
откуда имеем: |
|
|
|
|
|
|
1 |
~ ~ |
(54) |
где |
|
1 + iaE* ' |
||
|
|
|
|
|
Г* = |
Г] |
^Г2, |
Гй= Fjfe ^Г2£, |
|
Е* = С — iS
Циркуляция Г (t ), выражаемая формулой (49), может быть тогда представлена в виде
точно так же |
|
Г = |
Г0 + |
Я е { гУ Ч , |
|
|
(55) |
||||||||
|
r k = |
r ok + Re{r*heM). |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В соответствии с этим для |
общности |
и |
краткости |
записи |
|||||||||||
можно |
ввести |
комплексные |
циркуляции |
|
|
|
|||||||||
|
Г = |
Г0 + |
Г * / |
|
|
|
, |
|
Г* = Гой + |
Г1еы , |
|
||||
тогда |
комплексная |
плотность вихрей |
следа будет |
|
|||||||||||
|
|
|
1 dr |
|
|
г^* |
Ы |
•е |
—ioXi |
Jo |
, |
(56) |
|||
|
|
|
ис dt' |
|
— Г е |
|
|
|
■е |
||||||
|
|
|
|
иг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г = |
— ЙГУ’У 0 J* е~ |
|
( |
| |
/ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
• |
1'* |
е |
ь / |
‘в |
ia |
|
р* |
|
|
|
|
|
|
|
— гоГ |
|
|
|
-hi, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Е[ = |
е - а -Е |
|
|
|
|
|
|||||
Точно так же будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а вместо (48) |
получим |
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
____ |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г = |
Г* + |
Г , |
|
|
|
|
|||||
52
откуда на основании (55)
Г' |
г* |
|
Я: |
|
ь г У ’ -1Д |
|
|||
и, следовательно, как и раньше, |
|
|
||
|
Г* _ |
1 + h e iaE \ * |
(57) |
|
|
|
|
||
Ясно, что действительная и |
мнимая |
части этого |
выражения |
|
даются формулами (53). Действительно, помножая |
числитель |
|||
и знаменатель выражения (57) на 1 — ia(C-j-iS), получим |
||||
|
|
r ;[ i - « ( c + /s ) ] |
|
|
Гх |
*Г2 — ^+ 2а5 + |
а^(52+ С2) ’ |
(58) |
|
откуда и следуют формулы (53).
Итак, для того, чтобы вычислить величины Tj и Г2, а сле довательно, и полную циркуляцию Г, необходимо знать чис ленные значения функций S(a) и С (а), выражаемых интегра лами (51). Эти значения могут быть получены путем исполь зования таблиц функций Бесселя.
Начнем с исследования интеграла
ОО____
I
Его можно записать также в виде
|
|
1 |
|
Полагая |
x r = |
ch ч\, получим |
|
|
|
оо |
1 )dt[ - -У -. |
|
|
£ * = J е~ " ch 1(ch у}+ |
|
|
|
o' |
|
Таким |
образом, вычисление Е* свелось к вычислению инте- |
||
|
|
00 |
|
гралов вида J* е~ta ch 71ch (nrj) dy при n, |
равном нулю и единице, |
||
|
о |
|
|
В анализе |
изучены интегралы этого вида, а именно, интеграл |
||
|
|
( _ i ) - 14 J е- '•«М ch |
* , = н2> (о), |
|
|
о |
|
53
который называется первой функцией Ганкеля, и интеграл, комплексно сопряженный, т. е. интеграл
—h ch t]ch (ni|) di\ = H n]( (a),
который называется второй функцией Ганкеля.
Функции |
и Н^п можно представить в виде |
|
H y{o) = Jn (°) + iNn {o), |
|
Н f (о) = Jn (о) — iNn (о), |
причем Jn (a), |
являющаяся действительной частью, называется |
бесселевой функцией первого рода, а Nn (a) — функцией Ней мана (бесселевой функцией второго рода). Для обеих этих функций при различных значениях индекса п существуют точные таблицы.
На основании изложенного имеем: |
|
|
|
|
|||||
|
* |
j [Я,2)(а) + Ш % \4 |
|
|
(59) |
||||
|
Е1 |
|
|
||||||
или же |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
Е* = |
ешЕ\ = С — iS = |
|
|
|
|
||||
~2 •Л (°) + N 0(a) — |
|
||||||||
|
— i |
(а) — Л (a)) |
_1_ |
|
|
||||
|
|
to’ |
|
|
|||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
f |
КЛ + |
N 0) COS a - f |
(Л/j - |
Л) Sin a], |
(60) |
|||
S = - j [ ( N 1- |
/ 0) cos з - |
(Д + |
N0) sin a]. |
||||||
|
|||||||||
Эти формулы позволяют найти величины |
С и S , |
так как |
|||||||
для функции Jn и N n существуют таблицы |
и, следовательно, |
||||||||
определение Tj и Г, |
по формулам (53) не представляет труда. |
||||||||
На основании |
(59), |
выражение (57) |
для |
Г* можно |
записать |
||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р* |
|
|
|
|
|
(61) |
||
отсюда вытекает, что — см. формулу (56) — |
|
|
|||||||
|
|
|
/у |
Г |
|
|
|
(62) |
|
|
ТО) * i) = — |
|
|
|
|
||||
|
|
|
*' % а[нр-1Н?>] |
|
|
||||
Б4
Поэтому сила |
Fs , |
выражаемая, |
как мы |
знаем, формулой |
|||||
|
|
|
|
а |
а2 |
|
|
|
|
представится в виде |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ы |
|
:,dx, |
|
|
|
|
|
Ys = pucRe |
2Vke‘ |
|
|
|
|||
|
|
|*[я<2>+ ш<2>] j |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
= pucRe |rle " '-F (5)} = pucRe {f* • F (a)|, |
(63) |
||||||
где |
F (a) |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(o) |
|
e - l°x'dxi |
|
|
|
||
|
|
|
Y x \ - 1 |
|
|
||||
|
|
|
\ [ H f + iH^\ |
|
|
||||
|
|
|
|
Г*b = nr* he . |
|
|
|
|
|
Для того чтобы явно выделить влияние Г£, |
функцию |
F(o) |
|||||||
можно заменить функцией вида |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
/= Н Д - 1 = /Д а ). |
|
|
|
|
|
Тогда |
будем |
иметь: |
|
|
|
|
|
||
|
|
У* - - PUcRe (f *} + pucRe {f |
|
(«)} • |
|
||||
Если обозначить |
Fi (a) => m (a) + |
in (a), |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
то, |
имея в виду, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fft = (Ий — iVtk) еы = Tift cos 'it + |
Г2к sin it + |
|
|||||
получим |
|
+ i (Г,* sin it — T2k cos it), |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ГfcE, (a) = |
(Гik cos -it -f- T2fe sin v^) m — (Г^ sin it — T2k cos it) n + |
||||||||
|
+ * [(Г\k sin |
— T2k cos vt) m -}- (Г ^ cos it + |
Г2* sin it) n\ |
|
|||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ys = — pu,c (Г,* cos it 4- Vtk sin it) + |
|
|
|||||
|
+ |
P«c \Y \km + Г2kn) cos it -f- (Гikm ~ r ift7i)sinv*] . |
(64) |
||||||
Значения функций m(a) и «(о), |
являющихся |
действитель |
|||||||
ной |
и мнимой |
частями функции |
Fx (а), |
которая называется |
|||||
55
функцией Теодорсена, приведены в таблице. Наличие этой таблицы позволяет, на основании формулы (64), легко подсчи тать значение силы Ys.
з |
т(а) |
л(а) |
3 |
/я(а) |
л(а) |
оо |
0,5000 |
0,0000 |
0,56 |
0,5857 |
0,1428 |
10,0 |
0,5006 |
0,0124 |
0,54 |
0,5895 |
0,1453 |
5,0 |
0,5024 |
0,0246 |
0,52 |
0,5936 |
0,1480 |
4,0 |
0,5037 |
0,0305 |
0,50 |
0,5979 |
0,1507 |
3,0 |
0,5063 |
0,0400 |
0,48 |
0,6026 |
0,1535 |
2,5 |
Р.5087 |
0,0473 |
0,46 |
0,6076 |
0,1563 |
2,0 |
0,5130 |
0,0577 |
0,44 |
0,6130 |
0,1592 |
1,5 |
0,5210 |
0,0736 |
0,42 |
0,6187 |
0,1621 |
1,2 |
0,5300 |
0,0877 |
0,40 |
0,6250 |
0,1650 |
1,1 |
0,5342 |
0,0936 |
0,38 |
0,6317 |
0,1679 |
1,0 |
0,5394 |
0,1003 |
0,36 |
0,6390 |
0,1709 |
0,98 |
0,5406 |
0,1017 |
0,34 |
0,6469 |
0,1738 |
0,94 |
0,5431 |
0,1047 |
0,32 |
0,6556 |
0,1766 |
0,90 |
0,5459 |
0,1078 |
0,30 |
0,6650 |
0,1793 |
0,86 |
0,5490 |
0,1112 |
0,28 |
0,6752 |
0,1819 |
0,82 |
0,5523 |
0,1147 |
0,26 |
0,6865 |
0,1842 |
0,80 |
0,5541 |
0,1165 |
0,24 |
0,6989 |
0,1862 |
0,78 |
0,5560 |
0,1184 |
0,22 |
0,7125 |
0,1877 |
0,76 |
0,5581 |
0,1203 |
0,20 |
0,7276 |
0,1886 |
0,74 |
0,5602 |
0,1223 |
0,18 |
0,7442 |
0,1887 |
0,72 |
0,5624 |
0,1243 |
0,16 |
0,7628 |
0,1875 |
0,70 |
0,5648 |
0,1264 |
0,14 |
0,7834 |
0,1849 |
0,68 |
0,5673 |
0,1286 |
0,12 |
0,8063 |
0,1801 |
0,66 |
0,5699 |
0,1308 |
0,10 |
0,8319 |
0,1723 |
0,64 |
0,5727 |
0,1330 |
0,08 |
0,8604 |
0,1604 |
0,62 |
0,5756 |
0,1354 |
0,06 |
0,8902 |
0,1426 |
0,60 |
0,5788 |
0,1378 |
0,04 |
0,9267 |
0,1160 |
0,58 |
0,5822 |
0,1402 |
0,02 |
0,9637 |
0,0752 |
В заключение заметим, что |
сумма |
Y k + Y s , если |
учесть, |
||
что |
|
|
|
|
|
Yk = |
рГ*ис = |
рГ0мс + рис (Г,йcos |
-f- Г2k sin v^), |
|
|
будет иметь |
вид |
|
|
|
|
Y k + Y s = ?uc[г о + (г |
+ г 2*л) cos vt + |
(Гikm — Гjkn) sin v/] . |
|||
|
|
|
|
|
(65) |
§10. Применение вихревого метода
Вслучае бесконечно тонкого профиля (т. е. дуги) формула для дополнительной циркуляции Г', найденная нами при помощи конформного отображения, может быть найдена не посредственно, если использовать вихревой метод. Помимо определения Г', этот метод позволяет найти также плотность
слоя присоединенных вихрей, входящих в выражение для /?,-
и
56
