Файл: Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
Действительно, представим себе, что нам дан мало изогну тый, бесконечно тонкий профиль (дуга), позади которого тя нется вихревой след, мало, отклоняющийся от прямой, которая является продолжением хорды профиля (см. рис. 14). Покроем мысленно нашу дугу непре
рывно |
распределенными |
по |
|
У |
||
ней вихрями с плотностью |
fn, |
|
-Vc |
|||
а линию |
следа — вихрями |
с |
|
|
||
плотностью Y- Так как рассмат |
|
|
||||
риваемая |
дуга и |
ее |
вихревой |
|
|
|
след очень мало |
уклоняются |
Рис. |
14. |
|||
от оси абсцисс, то при вы |
||||||
числении |
индуктивных скоро |
слой расположен на оси х г |
||||
стей можно считать, что вихревой |
||||||
и что скорости в точках дуги в |
первом приближении равны |
|||||
скоростям в точках, |
являющихся |
проекциями |
точек дуги на |
|||
ось х х.
Условие непроницаемости профиля в этом случае можно
записать в виде |
|
|
|
|
|
Д- во |
|
|
|
|||
|
•f-d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 С |
r n (x i > t) d x 1 |
т/ |
( |
1 |
р 7 (xlt t) dxx |
|
(66) |
||||
|
2* J |
* i - * i |
Vcn + |
2 ,) |
Xi_ x[ |
’ |
||||||
|
|
|||||||||||
|
— a |
|
|
|
|
|
|
- i -a |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vcn = |
К sin (a — &') = |
Vcf |
(*;, |
t). |
|
|
||||
Делая известную замену переменного |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
х г = — a cos 0, |
dx j = |
a sin 6 db, |
|
|
||||||
полагая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т п= 2К |
|
c t g у |
+ |
Ап2 |
s in |
ra6j |
|
(67) |
|||
и принимая во |
внимание, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ж |
cosCOS п0 М |
|
sin nO' |
|
|
|
|
|||
|
|
р |
|
|
|
|
|
( 68) |
||||
|
|
J cosCI 0—cos t |
|
sin 0' |
|
|
|
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вместо (66) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л. - |
2 A. c o s*»'=/ ( |
Г , t)+ 2д -1 |
|
|
|
|||||||
|
n = 1 |
= f ( V , t ) |
+ |
Aas (0', t) . “ |
|
|
(69) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
57'
Отсюда имеем:
A, = i j |
ПК n +4vc] |
^ t ^ |
db', |
|||
|
О |_ |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ив' dQ', |
|
|
+Л |
|
|
|
|
|
Г = |
J Тп(*1. |
t ) dxi “ |
2naVc (Ло + |
|
||
|
—а |
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
Г — 2aVr j |
/(&', 0(1 - |
cos в')dB' 4- |
||||
|
|
О |
|
f 0-coseorffl- |
|
|
x - L f w j c |
t ) d x |
(70) |
||||
+ |
2^ |
CJ |
|
|
Х1- Х[Ю |
|
Если бы вихревой след отсутствовал, то отсутствовало бы второе слагаемое в квадратной скобке формулы (70). Поэтому можно утверждать, что величина
2aVc j / ( 0 ', 0 ( 1 - c o s 6') d 6' = r*
есть квазистационарная циркуляция, а величина
(1 — cos 0') d%’
(71)
~
есть добавочная циркуляция, которую нужно наложить на профиль, чтобы выполнить постулат С. А. Чаплыгина при на личии вихревого следа.
Вычислим интеграл
|
|
|
J _ |
С (1—COS0')М' |
|
|
|
|
|
|
а J X i — x[(V) |
|
|
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
/ = |
J * |
(1 — cos 6') flf0' |
С |
(1 - cos Ъ')М' n |
, - J |
rf0' |
|
a J |
JCj + a co se' |
J |
Xl + cos0' |
1 J |
Xl -+- cos < |
Сделаем замену переменного, положив
* 8' z = tS У>
58
тогда
TZ
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
/ = (x i + |
1) I Xi + |
cos 0' |
|
|
(71a) |
|
Отсюда вытекает, что Г', |
выражаемое |
формулой (71), примет |
||||
вид |
|
|
|
|
|
|
Г |
' |
- |
= |
а |
) d x 1. |
(71 в) |
|
1 |
|
|
|
|
|
Эта формула совпадает |
с |
ранее |
полученной нами |
формулой |
||
для неизогнутой |
пластинки — формула |
(29). |
|
|||
Мы видим, что в рамках вихревой |
теории тонкого профиля |
|||||
эта формула остается справедливой и для случая слабо искрив ленного профиля. Разумеется, что численное значение Г' для искривленного профиля будет другое, чем для неискривленной пластинки, так как различны будут, в рассматриваемом случае, величины Г^, через которые выражается ?.
Отметим, наконец, что величина |
|
|
Y |
t) dxi |
|
v ns |
— JCj |
(72) |
представляет собой не что иное, как индуктивную скорость, вызванную на профиле вихрями следа. Эта скорость создает
скос ^потока Дas = которому и соответствует добавочная
* С
59
циркуляция Г'. В тех случаях, когда мы умеем определять
величину |
Г (t ), |
например |
в |
случае |
колебаний |
|
профиля, |
||||||
всегда можно наити f, |
|
|
|
1 <Н' |
и |
затем, |
определив |
||||||
равное — —— |
|
||||||||||||
коэффициенты Ап, найти величину fn. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Посмотрим теперь, как можно представить уп при |
помощи |
||||||||||||
одной интегральной формулы. Имея |
в |
виду, |
что, |
согласно |
|||||||||
формуле (68), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin nb, __sin 0' J |
cos я0 М |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos 0 — cos ( |
|
|
|
|
||
будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 0' |
2 |
A-пcos я0' |
|
|
||
Тп(6\ |
|
|
|
|
|
|
\ л - i |
|
т db' |
|
|||
t) = 2Vc\ A 0c t g ^ + ^ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 0 — cos О |
|
|
|||
откуда, принимая |
во внимание (79), получим |
|
|
|
|||||||||
Щ »'. |
t ) - 2 V e L |
|
^ |
^ |
Sin 0' f /(0 , |
t) + Да, ( 0 ^ |
db 1( | 73J |
||||||
|
' |
^ |
cos 0 — cos f |
|
|
|
|||||||
HO |
|
|
1Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
db |
|
|
|
||
|
A |
> = | j |
[/(<>, |
0 |
+ |
|
t)\ |
|
|
|
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X„(S', * ) = ~ j [ / ( e* |
0 + |
A“s(8, 01 (ctg^ |
cos0 — cost ,\db = |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)[/(» , |
<) + |
4 .,(« . |
<)]<» |
|||
|
2VC , |
0' |
C, |
6 |
/(0 , t) + |
Aa,(0, t) |
|
|
|
||||
= — ^ |
|
6' |
Г. |
|
|
|
|||||||
ctg y J ^ |
2 |
|
.cos 0 — cos 67-У- sin 6 db. |
|
|
||||||||
Замечая, что |
|
|
|
|
|
x[ = — a cos 6', |
|
|
|
||||
|
x 1= — acosb, |
|
|
|
|
||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
+ X, f (x1, t) + Aa, (xb t) |
|
d x v (74) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xl—x'l |
|
|
|
|
60
