Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 89
Скачиваний: 2
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
61 |
ностей. Мощный метод был предложен М арковым, ыо он не сумел сделать его строгим. Около двадцати лет
спустя |
метод был обоснован П. |
Леви. |
М арковскому |
|||||||
методу посвящены следующие два пункта. |
|
|||||||||
2. |
Основная идея |
метода. П усть |
|
|
|
|||||
|
|
|
1, |
|
|
(Oj < X < |
G)2, |
|
( 2 . 1) |
|
|
|
|
О, |
в противном |
случае. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
Из элементарной |
теории |
интеграла |
Фурье |
известно, |
||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*(*>= Ш 5 |
---- Ч— |
е |
|
dl |
( 2 . 2) |
|||
|
|
|
|
|||||||
при обычном условии, что |
для х — Ыу |
и х = |
со2 полу |
|||||||
чается |
значение, |
равное |
|
. Далее, если только fOj |
||||||
и со2 не |
являются |
целыми |
кратными |
числа |
1/га , то |
|||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р jo)! < |
ri |
(0Ч ~ • • • Ч~гп ( О |
< |
" г |
= |
|
|
|
|
|
|
|
Y n |
|
|
|
}" |
|
|
|
|
^ g (rA l)±-..- + rn (0 ^ dt |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Y n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eia>2%_ |
|
|
|
|
|
|
« * . |
|
- S i r ) = * < = |
|
|
|
|
|
|
||||
(2.3)
(>2 |
ГЛАВА 3 |
Изменяя порядок интегрирования в последнем выра жении [в данном случае это легко обосновывается, так как сумма ^ ( £ ) + . . . + rn (t) принимает только конечное число значений], мы получим
И ®i < |
r i(;) Ч~ • • • Ч~гп (О < Ш, |
|
]/"п |
_ i |
[ |
е*“2&—е4®1* |
|
|
ri (*)~Ь • • •+>'n (O' |
|||
~~2п } |
11 |
|
|
|
|
V* |
||
|
— СО |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
,»Иг1_JtoiS / |
cos |
J L ’ |
|||
|
|
: |
е |
|
|
|||
|
|
2л 5 |
|
«’5 |
|
I |
| / п, |
|
Для |
каждого действительного | |
|
|
|
||||
|
|
lim (cos—2=' |
|
? - £ 2/ 2 , |
||||
|
|
п-»-оо \ |
У |
П |
|
|
|
|
и напрашивается вывод, что |
|
|
|
|
||||
lim р 4 ol>i < ri (04~ • • • -\~гп (О |
|
< ®2} |
||||||
П |
- * С О |
*» |
j/"п . |
|
|
|||
(2.4)
(2.5)
*<02w 2*
- s i
it |
e^ /2d^ - f ^ \ e~vV2dy- |
(2-6’) |
|
(01 |
|
Каковы затруднения с этим методом? Единственный шаг, требующий обоснования, — это переход к преде
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
|
03 |
лу под знаком интеграла при п —^оо. |
К |
сожалению, |
пределы интегрирования суть — оо и -1-оо, |
а функция |
|
ч |
|
|
не является абсолютно интегрируемой. |
математиком, |
|
Марков, который был великолепным |
||
не смог преодолеть эту трудность и отказался от этого метода!
Физики, понятие строгости у которых менее точно, чем наше, так и называют метод «марковским мето дом», тогда как математики едва ли знают о его про исхождении.
3. Метод Маркова становится строгим. Обоснова ние марковского метода в действительности совсем просто. Оно основано на простой и широко примени мой идее.
Исследуем сначала формулу (2.2). Это обычная формула Фурье:
С О |
со |
(3.1) |
S |
S S{y)eiUv~x) dydl, |
|
—00—со |
|
|
примененная к специальной функции (2.1).
Введем теперь две вспомогательные функции: g£ (х ) и gl (х), графикиг) которых приведены ниже (е > О, 2е < со2 — coj).)*
*) Вырота обоих графиков равна 1.
64 ГЛАВА 3
|
|
|
|
s, <*> |
|
|
щ-е (о. |
|
Щ |
Шг+£ |
Ш, (v,*£ |
(Jj2-e шг |
|
Мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
gi (*) < |
В (х)< gi (*) |
(3.2) |
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Г1 (0+ ■■. -\-rn (t) |
dt < |
|
|
|||
$й ( |
Y п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
< Ц |
| со, < |
(0Т~ |
■~t-rn (t) |
<M 2 |
< |
|
|
Y n |
|||||
|
|
|
|
|
||
Теперь функции
СО |
СО |
G l ( l ) = \ gl {у) eivldy и G l { Q = \ g l { y ) e {^ d l
— со |
- с о |
|
|
Н О Р М А Л Ь Н Ы Й ЗА К О Н |
65 |
|
|
|
|
абсолютно |
инт егрируемы по £ в интервале |
( — сю, сю) |
|
ч |
вследствие этого аргум ентация п. 2 |
приводит |
|
к |
ст рогом у |
выводу |
|
lira |
( |
gl ( |
\/ П |
= |
П-+00 |
J |
Ч |
У |
|
|
О |
|
9 |
|
|
|
со |
|
со |
|
|
= 2)7 \ |
6-12/2 |
5 ££" (у) eiiy dy d^ |
|
|
—со |
|
—оо |
|
|
|
оо |
|
|
|
= 7Sf |
I «-(г/)»-”1'2*/ |
|
|
|
— со |
|
|
iim
п-+со
со со
= 4 S е-|г/2 S g i ( y ) ^ d y d l =
—оо |
—оо |
|
со |
- y f e S —00
К ом бинируя (3.4) и (3 .5) с (3.3), получаем
ОО
У Ш I S l ( y ) e ~ ^ d y <
— СО
(3.4)
(3.5)
5 М . К а п
6б ГЛАВА 3
< lim inf р j щ < |
7-1(г)+ ' ■•+ M iL. < (о2| |
< |
|||||
П->оо |
I |
у |
и |
|
' |
|
|
< |
lim sup р {(Oi < |
г1(*)+-"_+ГпМ < |
0)2| |
< |
|
||
|
71->со |
I |
у 71 |
|
J |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
5 g i(y)e ~ vV2diy. |
|
|
|
(3.6) |
||
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
Так как (3.6) справедливо при |
любом |
е > |
0, |
то мы |
|||
сразу получим |
|
|
|
|
|
|
|
П т |
р {£ох < |
^ W+ |
|
< соД = |
|
|
|
n —foo |
t |
|
у П |
J |
|
|
|
|
ОО |
|
|
0 ) о |
|
|
|
~ w A |
^ ) t -', V d y = T |
s \ ‘- M 2iy <3 -7> |
—т |
“ |
/л. |
ЗАДАЧИ
1.В 1917 г. Г. Вейль доказал, что при любом ирраци
нальном а |
последовательность ап —па— [ла], л = 1 , 2, . . . . |
|||
равномерно |
распределена |
на (0,1). Другими словами, |
если |
|
O < (O !< 02< 1 и кп (cOj, со2) обозначает число величия а,, |
1 < |
|||
■ 0 < л , которые попали |
в интервал (сох, со2), то |
|
||
|
,. |
кп (ш,, со2) |
|
|
|
lim ■ |
|
■— — — = оз2 — % . |
|
|
п-+ оо |
|
Л |
|
Вводя периодическую функцию |
g (х) с периодом 1, заданную |
па (0,1) соотношением (2.1), и |
используя ряд Фурье вместо |
интеграла Фурье, доказать теорему Вейля.
