Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 2
БОРЕЛЬ И ПОСЛЕ НЕГО |
55 |
Мы можем предположить, что с?1—» 0, в противном случае утверждение нашей теоремы будет тривиальным.
Допустим теперь, что (6.2) выполняется, сп —>0 и ряд (6.3) сходится на множестве положительной меры. По вышеприведенному замечанию он должен сходиться почти всюду. Следовательно, существует измеримая функция g(t), такая, что почти всюду
lim |
2 ciirh(t) — 8 (*)■ |
(56-4) |
7 1 -+ C O |
1 |
|
.Теперь в силу (6.4) для каждого действительного £ Ф 0
почти всюду
П
lim exp [il 2 ckrh(*)] = e{W .
ГНОО 1
По теореме Лебега об ограниченной сходимости полу чаем
t |
71 |
1 |
lim |
^ exp |
2 |
СЛ (* )] |
dt |
= § el^ d t . |
(6.5) |
'1_>со о |
1 |
|
|
о |
|
|
Однако известно, |
что |
|
|
со |
|
|
|
I |
n |
|
|
|
|
|
5 ехр [ * 2 |
(о ] |
^ |
= ц cosgcft. |
(6.6) |
|
П-*°° |
о |
1 |
|
|
fc=l |
|
Читателю предстоит самому вывести из (6.2) и усло вия сп —>0, что
П
lim Ц cos£ch = 0.
n-юо Ь=1
56 |
|
|
|
ГЛАВА |
2 |
|
|
Тогда для |
каждого |
действительного J-Ф О |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Je*«e«)df = 0. |
|
(6.7) |
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
Выберем теперь последовательность |
> О, |
но так, |
|||||
чтобы каждое \ п ф 0 |
(например, | (1 = н-1), |
тогда для |
|||||
почти каждого t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim l ng(t) = О |
|
|
||
и, следовательно, |
П -Ю О |
|
|
|
|||
Н т |
= 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
для почти каждого |
n-vco |
|
|
|
|||
t. |
Лебега о предельном переходе |
||||||
Снова |
по |
теореме |
|||||
под знаком интеграла |
|
|
|
|
|||
|
|
lim |
^ e^ngO) dt = 1, |
|
|
||
|
|
П->ОО J |
|
|
|
||
что ввиду (6.7) приводит к противоречию: |
0 = 1. |
||||||
Поэтому ряд |
(6.3) |
не |
может |
сходиться на |
множестве |
||
положительной меры. Следовательно, ряд должен рас ходиться почти всюду.
Этот метод доказательства существенным образом использует независимость rk (t) [см. (6.6)] и, по-види мому, непосредственно неприменим к изучению ряда
^ chsin2nnht, |
>4*1 |
> я > 1. |
)(=i |
щ |
|
|
|
15 ОНИЛЬ |
И ПОСЛЕ НЕГО |
57 |
|
|
|
при условии |
|
|
2 |
с\ = 00 . |
|
I |
|
|
Однако данный метод все же можно приспособить для этой цели, но мы отложим обсуждение этого вопроса до более позднего момента.
ЗАДАЧИ
|
ОО |
с£= оо, Cfi — 0; |
рассмотрим ряд |
||
I. Пусть 2 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
с/г sin 2n2h lt. |
||
|
|
л=и |
|
|
|
(а) |
Доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
lim [ |
|
|
di |
|
|
П-+СОJ |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
существует, и найти его значение. |
последовательность функций, |
||||
(б) |
Пусть Fn (t), |
0 < * < 1 , |
|||
такая, |
что |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
lim |
f F$,(t)dt = a, |
lim |
[ F*l (t)dt = р |
|
|
Л“»00 |
О |
|
n->oo |
J |
|
|
о |
|
|
о |
58 |
ГЛАВА 2 |
Доказать тогда, что мера множества Е, на котором Fn (i) стремится к 0, не может превосходить
ср
Р
(в) Используя (а) и (б), доказать, что при условиях да ной задачи ряд
00
2 Cft sin 2n2h~lt k=i
расходится почти всюду.
2. Следующий пример показывает, что в теореме задачи 1 синус не может быть заменен «произвольной» периодической
функцией /(г) периода 1 ^подчиненной, конечно, условию
1
[ f(t)dt= о) .
о
Пусть
/ (0 = sin 2яt — sin 4яг;
показать, что
СО
2 у г /(2,'“)
сходится всюду.
ЛИТЕРАТУРА
B o r e l Е., Les probability denombrables et leurs applications arithmetiques, Rend. Circ, Math. Palermo, 27 (1909), 247 —
271.
|
|
БОРЕЛЬ |
И ПОСЛЕ НЕГО |
|
59 |
|||
G h a m p e r n o w n e |
D. G., The construction of decimals normal |
|||||||
in the |
scale |
of |
ten, J. London |
Math. Soc., |
8 (1933), 254 — |
|||
260. |
|
|
|
|
|
|
|
|
St e i n h a u s |
H., |
Les probabilities denombrables |
et leur rapport |
|||||
a la theorie |
de |
la mesure, Fund. Math., 4 (1922), 286 —310. |
||||||
H a d e m a c h e r |
H., |
Einige Satze iiber Reihen von allgemeinen |
||||||
Orthogonalfunktionen, |
Math. |
Ann., |
87 (1922), |
112 — 138. |
||||
К a с M., Convergence of certain gap series, Ann. Math., |
44 (1943). |
|||||||
411— 415 (здесь дается ссылка на первоначальные работы |
||||||||
Палея и Зигмунда). |
|
|
|
|
|
|||
H a r t m a n Ph. and |
К i г s h n е г R., The structure of monotone |
|||||||
functions, Amer. J. Math., 59 (1937), |
809 — 822. |
|
||||||
Глава 3
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН
1. |
Муавр. |
В п, 1 гл. 2 мы обсуждали «слабый |
|
закон |
больших |
чисел». |
Муавром был доказан более |
точный результат, а именно что |
|||
lim ц {(Oj V n |
< r\ (t) + |
. . . -f rn (t) < (o2 Y n) = |
|
|
|
|
( 1. 1) |
Читатель не встретит затруднений при интерпретации этого результата в вероятностных терминах. Элемен тарное доказательство может быть основано на фор муле (5.6) гл. 1. При этом (1.1) становится экви валентным чисто комбинаторной формуле
lim
~ + е>1V n < l < ^ + о>2Yn
Прямое использование формулы Стирлинга даст (1.2), но в то же время это доказательство затемнит харак тер теоремы. Попытки обобщить (1.1) дали сильный толчок развитию аналитических методов теории вероят
