Файл: Афонин А.А. Частицы, поля, кванты.pdf

П ткрытие световых квантов (фотонов) явилось пред- ** дверием всей квантовой теории. Тем не менее постро­ ение последовательной теории фотонов было осуществ­ лено значительно позже, когда основные проблемы нере­ лятивистской квантовой механики оказались исчерпан­ ными.

Дело в том, что обнаружение корпускулярных свойств у электромагнитного волнового поля явилось не единст­ венной причиной, побудившей к ревизии классических понятий и к созданию новой теории. Это, так сказать, од­ на сторона медали.

Вторая состояла в том, что были открыты волновые свойства у объектов, считавшихся ранее частицами, у электронов. Но в то время, как изучение этой второй части проблемы не требовало немедленного учета эффек­ тов, связанных с большими скоростями движения, то есть эффектов специальной теории относительности, раз­ работка теории фотонов без этого была бы просто не­ возможна.

Действительно, как уже разъяснялось ранее, теория относительности требует существования конечной мак­ симально возможной скорости движения для любых ма­ териальных объектов. Эта скорость равна скорости све­ та. Тем самым мы имеем теперь объективный критерий для суждения о величине скорости. Если последняя близ­ ка к скорости света, то мы говорим, что она велика, и в этом случае необходимо пользоваться специальной тео­ рией относительности, то есть по-новому складывать скорости, учитывать связь между массой и энергией, между пространственными координатами и временем.

Случай достаточно малых скоростей по сравнению со скоростью света приводит к взглядам на пространство и время, массу и энергию, присущим классической механи­ ке Ньютона.

62

На страницах, посвященных теории относительности, было выяснено, что если частица не имеет массы покоя, то она всегда движется со скоростью света. Именно та­ кой частицей является фотон, и поэтому случая малых скоростей (иначе говорят нерелятивистских) для него не существует. Строгая теория фотона должна с самого на­ чала строиться с учетом теории относительности, то есть быть релятивистской.

Иное положение дел мы имеем для электрона или для любой другой частицы, имеющей массу покоя. Для таких частиц возможен случай малых скоростей, и это позволя­ ет в качестве первого шага строить квантовую теорию для них без учета теории относительности. Привлечение по­ следней столь существенно усложняет дело, что вполне заслуженно является следующим этапом развития тео­ рии. Открытие квантовых свойств и без того породило достаточно проблем как физических, так и математиче­ ских. Это — дилемма волны-частицы, устойчивость элек­ тронных орбит в атомах, интерпретация волновой функ­ ции, создание математического аппарата квантовой ме­ ханики и так далее. Обо всем этом шла речь в предыдущих разделах брошюры. Теперь эта часть кван­ товой теории, именно нерелятивистская квантовая меха­ ника, может считаться полностью законченной и являет­ ся великим вкладом в сокровищницу науки наряду с такими созданиями человеческого разума, как классиче­ ская механика, статистическая физика, специальная и общая теории относительности.

Но после того как был сделан первый шаг построения квантовой теории, перед физиками встали проблемы, связанные с учетом теории относительности. И первой задачей на этом пути было построение таких уравнений движения для элементарных частиц, которые годились бы при любых скоростях движения.

63

Создание таких уравнений породило ряд серьезных трудностей. Одна из них состоит в том, что при взаимо­ действии элементарных частиц может происходить рож­ дение новых частиц, в результате чего число их при до­ статочно больших энергиях будет меняться.

Все это дало основания считать, что последователь­ ная релятивистская теория отдельных частиц не может быть построена. Необходимо рассматривать сразу много частиц. Теория электронов, например, должна строиться как теория многих частиц, или, другими словами, как те­ ория квантового электронно-позитронного поля.

Электромагнитное поле в квантовой механике рассма­ тривалось по-старому, классически, то есть так, как будто бы открытия фотонов и вовсе не было. Ясно, что такой подход не может считаться удовлетворительным, если в природе имеют место процессы рождения и уничтожения электромагнитных квантов.

Необходимость квантованного подхода следует так­ же и из самой логики квантовой теории. Действительно, допустим, что электромагнитное поле описывается клас­ сически, а электрон (или другая заряженная частица) ведет себя согласно квантовой механике. Тогда положе­ ние электрона может быть измерено с точностью, зави­ сящей только от длины электромагнитных волн и геомет­ рии опыта. При этом воздействие измеряющей установ­ ки (точнее, электромагнитных волн) на электрон может быть сделано сколько угодно малым с помощью умень­ шения интенсивности электромагнитного излучения и улучшения техники эксперимента. Это означает, что если импульс электрона до измерения положения был извес­ тен точно, то в результате измерения он почти не изме­ нится, и мы можем одновременно знать импульс и коор­ динаты электрона с точностью, выходящей за рамки со­ отношения неопределенностей. Если же принять, что

64

электромагнитное излучение с данной длиной волны состоит из квантов, равной энергии кх (к — постоянная Планка, V — частота), то, изменяя интенсивность, мы ме­ няем только число квантов, не меняя энергию отдельных квантов. В этом случае воздействие излучения на элек­ трон не может быть сделано каким угодно малым. Более детальные рассуждения показывают, что соотношение неопределенностей будет выполняться.

Таким образом, мы приходим к выводу, что и теория электромагнитного поля должна строиться как теория квантованного электромагнитного поля. Из дальнейше­ го будет ясно, что именно на таком пути удалось наибо­ лее последовательно объяснить все явления, обусловлен­ ные фотонами, электронами и их взаимодействием. Рассмотрение этих вопросов и составляет содержание новой дисциплины — квантовой электродинамики, кото­ рая и будет являться предметом обсуждения в данной главе. Ее построение и содержание разъясняется ниже на примере простых физических моделей.

Эфир в классической теории

Открытие электромагнитных волн уже обсуждалось нами ранее. Здесь же мы отметим только следующее обстоятельство. Физики того времени не могли признать эти электромагнитные волны столь же материальным объектом, как и любые материальные тела. Они думали, что поскольку электромагнитное поле может существо­ вать отдельно только в виде волн, то эти волны, как и волны, распространяющиеся по поверхности воды и в воздухе, должны иметь некоторый материальный носи­ тель, который получил название эфир.

Специальная теория относительности по-новому по­ ставила вопрос об эфире. Основной ее постулат о посто­ янстве скорости света относительно любых равномерно и прямолинейно движущихся тел приводит к выводу, что если эфир и существует, то он никак себя не проявляет, не считая роль материального носителя. Это, а также и то, что механические свойства эфира получались очень необычными и зачастую противоречивыми, отодвинуло вопрос об эфире в разряд чисто академических.

Таким образом, проблема эфира была не решена, а просто изъята из числа проблем, имеющих значение для дальнейшего развития теории.

Мы увидим далее, что в настоящее время она вновь поставлена, но на более высоком уровне.

Электромагнитное излучение как совокупность осциляторов

Представим себе натянутую струну, зажатую на кон­ цах. Если ударить по ней, то она зазвучит. Как правило, будет слышен один тон, называемый в акустике основ­ ным. Но при большей внимательности можно уловить и другие тона, более высокие, чем основной. Их называют обертонами.

Из теории колебаний известно, что каждому чистому тону будет соответствовать своя частота и своя длина волны.

Нетрудно сообразить, что возможны не все длины волн, а только такие, чтобы на длине струны уложилось целое число полуволн. Это связано с тем, что узлы ко­ лебаний (то есть точки, где амплитуда колебания всегда равна нулю) с длиной волны Я всегда находятся друг от

66

друга на расстоянии Отсюда также ясно, что макси­

мальная длина волны, соответствующая основному тону, будет равна удвоенной длине струны. Следующему по высоте тону отвечает длина волны, равная длине струны, то есть полуволна укладывается два раза. Затем три, четыре и так далее. Чем большее число полуволн уло­ жится на длине струны, тем более высокий тон будет по­ рождаться таким колебанием. Струна большей длины имеет и более низкий основной тон. Если же струна бесконечно велика, то становятся возможными все дли­ ны волн.

Как известно, механическая система, способная коле­ баться с некоторой одной частотой, называется осцилятором. Следовательно, колеблющуюся струну можно представлять как определенный набор осциляторов.

Пусть теперь упругая среда заполняет некоторый трехмерный объем. В отличие от струны здесь возмож­ ны колебания по всем трем направлениям. Колебания та­ кой системы также можно представить как набор осци­ ляторов, но уже трехмерных.

Если же в конечном объеме находится свободное электромагнитное излучение (электромагнитные колеба­ ния), то и ему соответствует эквивалентный набор осци­ ляторов с определенными частотами.

Причем колеблющимися величинами в этом случае будут напряженность электрического и магнитного по­ лей. При расширении объема до бесконечности, как и раньше, становятся допустимыми все частоты и все дли­ ны волн.

5*

Квантование электромагнитного поля

Теперь мы подошли к вопросу о переходе от класси­ ческого способа описания электромагнитного поля к квантовому или, говоря иначе, квантованию электромаг­ нитного поля. Проще всего это можно сделать с помощью замены классических осциляторов поля, введенных вы­ ше, на квантовые. Такая процедура квантования по смыслу и по результатам идентична тем, которые исполь­ зуются в солидных курсах, но позволяет более быстро и наглядно получить основные физические следствия.

Для этого необходимо лишь вспомнить содержание главы, где выяснялся смысл и характеристики квантово­ го осцилятора.

Кратко напомним необходимые сведения. Квантовый осцилятор — это такая система, которая может нахо­ диться лишь в строго определенных состояниях. Энер­ гии соседних состояний отличаются на величину 1п>, где Ь — постоянная Планка, а V — частота.

Таким образом, если осцилятор находится на п-м уровне, то энергия возбуждения равна п1ту. Но наиболее интересным свойством квантового осцилятора является то, что его энергия возбуждения меньше полной энергии

на величину Е 0=-^-Ьу. Ео— наинизшая энергия кванто­

вого осцилятора, или, как ее называют, нулевая энергия. В отличие от классического осцилятора квантовый прин­ ципиально не может находиться в состоянии покоя. Это его свойство, как было выяснено в предыдущей главе, обусловлено основным соотношением квантовой механи­ ки — соотношением неопределенности между координа­ той и импульсом.

Поскольку энергия возбуждения квантового осциля­ тора всегда кратна йу, то факт нахождения этой системы

68

на п-м энергетическом уровне можно истолковать так, что как будто существуют п совершенно неразличимых (тождественных) частиц или квантов, каждый из кото­ рых имеет энергию Ьу. Но квантованное электромагнит­ ное поле представляет собой систему независимых кван­ товых осциляторов со всеми возможными частотами.

Так мы приходим к мысли, что кванты электромаг­ нитного поля, то есть фотоны, можно рассматривать как элементарные возбуждения соответствующих осцилято­ ров этого поля.

Посмотрим теперь, к чему приведет существование нулевых колебаний квантовых осциляторов. Энергия электромагнитного поля равна сумме энергий отдельных осциляторов, число которых бесконечно велико. Поэтому существование нулевых колебаний приведет к тому, что в полную энергию поля войдет бесконечно большой, но постоянный вклад.

В квантовой теории поля не было замечено эффектов, связанных с энергией нулевых колебаний. В связи с этим можно надеяться, что эта трудность носит чисто фор­ мальный характер и что ее можно избежать, изменив начало отсчета энергии каждого осцилятора. Именно энергию каждого осцилятора будем отсчитывать от энер­ гии его нулевых колебаний. Тогда полная энергия поля будет конечна и равна сумме энергий отдельных квантов.

Это не означает еще, что мы полностью исключили нулевые колебания из рассмотрения. Исключена пока только энергия этих колебаний. В настоящее время она считается постоянной и всегда выпадает из энергетиче­ ского баланса.

Нулевые колебания могут проявить себя также бла­ годаря взаимодействию с частицами, обладающими электрическим зарядом. В дальнейшем будет показано, что взаимодействие электрона с нулевыми колебаниями

69

электромагнитного поля приводит к наблюдаемым эф­ фектам.

В связи с этим встает вопрос об интерпретации нуле­ вых колебаний в духе идеи квантов. Возбужденные со­ стояния осциляторов поля мы интерпретировали как су­ ществование определенного числа фотонов.

Назовем такие фотоны реальными. Соответственно низшее (невозбужденное) энергетическое состояние кван­ тованного электромагнитного поля будем представлять себе как состояние, в котором реальных фотонов нет, но есть так называемые виртуальные фотоны. Отличие их от реальных состоит в том, что они непосредственно как частицы не наблюдаются. Постоянно рождаясь и суще­ ствуя очень короткое время, они пропадают бесследно во всех точках пространства.

Такое представление нулевых колебаний согласуется со всей схемой квантовой электродинамики. Мы еще вер­ немся к этому вопросу в следующем разделе в связи с нулевыми колебаниями электронно-позитронного поля.

Квантование электронно*позитронного поля

Поскольку величина энергии возбуждения каждого осцилятора ничем не ограничена, то и число фотонов п с данной энергией может быть неограниченно велико. О таких элементарных частицах, число которых в задан­ ном состоянии (фиксирована энергия и другие возмож­ ные характеристики состояния) ничем не ограничено, говорят, что они подчиняются статистике Бозе — Эйн­ штейна.

Известным физиком-теоретиком В. Паули была до­ казана теорема, согласно которой все частицы с целым

70

спином подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а частицы с полуцелым спином—статистике Ферми—Ди­ рака. Статистика Ферми — Дирака характеризуется тем, что число частиц, подчиняющихся ей, в каждом заданном состоянии может принимать только два значения: ноль и единицу.

Спин фотона равен единице, а спин электрона (и по­ зитрона) — половине. Поэтому ясно, что разобранная нами процедура квантования электромагнитного поля согласуется с теоремой Паули, а квантовая теория элек­ тронно-позитронного поля должна строиться по-иному. Более того, из теоремы Паули следует, что квантово­ механическая система, играющая для электронно-позит­ ронного поля ту же роль, что и квантовый осцилятор для электромагнитного, должна иметь всего два возможных состояния.

Такая система существует. Это так называемая лармовская прецессия электронного спина, который может иметь только две проекции на любое направление. Мы не можем здесь подробно проводить все рассужде­ ния и читателю придется поверить, что поле, пред­ ставляющее собой совокупность таких квантовомехани­ ческих систем, будет обладать нужным свойством. Имен­ но в состоянии с заданной энергией и проекцией спина число электронов или позитронов может быть либо нуль, либо единица.

Весьма существенным отличием от случая электро­ магнитного поля, обусловленным в конечном итоге по­ луцелым спином электрона, является существование двух сортов квантов электронно-позитронного поля: элек­ тронов и позитронов. Как было выяснено в предыдущей главе, позитрон является античастицей по отношению к электрону, имеет противоположный знак заряда и может с ним аннигилировать, то есть превратиться в фотоны.

71