Файл: Афонин А.А. Частицы, поля, кванты.pdf

Уравнение Шредингера

Мы уже выяснили, что в отличие от классической фи­ зики, где состояние тела задается координатой и импуль­ сом, а развитие во времени однозначно описывается уравнениями Ньютона, квантовое состояние определяет­ ся волновой функцией. Возникает вопрос, можно ли по заданной волновой функции в начальный момент опре­ делить волновую функцию в последующие времена или, другими словами, существует ли и для квантового со­ стояния, то есть для волновой функции, уравнение дви­ жения? Оказывается, существует. Оно было предложено Э. Шредингером в 1926 году и играет в квантовой меха­ нике такую же важную роль, как и второй закон Ньюто­ на в классической механике.

Отличительная черта этого уравнения, названного уравнением Шредингера, состоит в том, что в примене­ нии к квантово-механическим системам, например к ато­ мам, оно способно давать дискретные уровни и вероят­ ности перехода между ними.

Простейшей квантовомеханической системой, на ко­ торой можно проиллюстрировать эти свойства, является квантовый линейный гармонический осцилятор. Единст­ венное его отличие от классического осцилятора состоит в замене колеблющейся классической частицы на кван­ товую. Решая для него уравнение Шредингера, можно получить выражение для полной энергии квантового ос­ цилятора.

Е = Л ' ^ п - 1— ^~^— п^ - \ - Е 0,

где И — постоянная Планка, V — частота колебания,

п — пробегает ряд целых чисел 0, 1, 2...

52

Видно, что уровни энергии отстоят друг от друга на целое число, кратное Ьт.

Следовательно, энергия квантового осцилятора в от­ личие от классического не может принимать любые зна­ чения, а лишь строго определенные. Интересно, что при

как для классического осцилятора она равна нулю. Эта энергия низшего состояния квантового осцилятора назы­ вается нулевой энергией. Ее отличие от нуля связано с существованием соотношения неопределенностей между координатой и импульсом. Действительно, если попы­ таться локализовать частицу, то неопределенность в значении импульса станет очень большой и приведет к такой же величине средней кинетической энергии. Поэто­ му отсутствие покоя, то есть некоторая нулевая энергия является энергетически наиболее «выгодным» состоя­ нием.

Квантовый осцилятор, находящийся в каком-либо из возбужденных состояний, может совершать переходы только между соседними уровнями. Только при таких пе­ реходах и может происходить излучение. Поэтому часто­ та излучения квантового осцилятора совпадает с часто­ той классического.

Что же касается рассмотрения таких квантовомехани­ ческих систем, как атом, то стремление объяснить свой­ ства последнего исторически и явилось источником раз­ вития квантовой механики.

Первая, близкая к действительности модель атома

была предложена Э. Резерфордом в 1911 году и очень напоминала устройство солнечной системы. Согласно этой модели, атом состоит из положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена почти вся масса атома, и электронов, вращающихся вокруг ядра. Однако приме­

53

нение законов классической механики и классической электродинамики для объяснения спектра излучения атома (спектр — совокупность возможных частот) при­ вело к резкому противоречию с опытом.

Как следует из классической электродинамики, вра­ щающийся заряд должен непрерывно излучать. Поэтому электрон за чрезвычайно короткое время потерял бы всю свою энергию, упал бы на ядро и атом перестал бы су­ ществовать. Но это противоречит замечательной стабиль­ ности атома. Кроме того, согласно законам классиче­ ской физики, электрон теряет свою энергию непрерывно, и спектр частот его излучения также должен быть не­ прерывным. Огромное же число экспериментальных дан­ ных свидетельствовало о дискретном спектре излучения атома.

Так как классическая физика принципиально не мог­ ла объяснить свойств атомов, Н. Бором в 1913 году были введены два постулата:

1.Электроны в атомах могут находиться не на всех,

атолько на строго определенных орбитах. Вращаясь по одной из них, он не излучает.

2.Излучение возможно только в том случае, если электрон скачком перейдет с одной орбиты на другую.

Каждой боровской орбите соответствует строго опре­ деленная энергия, и переходу между двумя орбитами с разными энергиями отвечает излучение. Следовательно, эти постулаты, как мы видим, сильно напоминают дис­ кретные уровни энергии и вероятности перехода кванто­ вого осцилятора. И действительно, в грубом приближе­ нии эти постулаты получаются из квантовой механики автоматически.

Если записать уравнение Шредингера для электрона

ватоме, то энергетические состояния, в которых может находиться электрон, имеют дискретный спектр. Атом,

54

находящийся в одном из своих дискретных энергетиче­ ских состояний, может с определенной вероятностью, на­ зываемой вероятностью перехода, перейти в любое дру­ гое дискретное энергетическое состояние, излучая энер­ гию, высвобождающуюся при этом, в виде фотонов.

Таким образом, только квантовая механика способна описывать явления, происходящие в микромире. Класси­ ческой же физике вход туда принципиально запрещен.

Релятивистская квантовая механика

Создание математического аппарата квантовой меха­ ники позволило объяснить огромное количество экспери­ ментальных данных, особенно по уровням энергий в ато­ мах. Однако квантовая механика могла объяснить не все уровни энергии в атоме, известные из опыта. Это требо­ вало дальнейшего развития теории.

Кроме того, квантовая механика, как и механика Ньютона, была приспособлена для описания сравнитель­ но медленных движений. Квантовые же объекты, напри­ мер электрон, могли достигать скоростей, близких к ско­ рости света. Возникла поэтому необходимость создать релятивистскую квантовую механику, способную описы­ вать движения с такими скоростями. Таким образом, ре­ лятивистская квантовая механика должна была, конеч­ но, содержать в себе квантовомеханические представле­ ния и в то же время удовлетворять всем требованиям специальной теории относительности. Синтез этих пред­ ставлений осуществил английский ученый П. Дирак в 1928 году, написав уравнение, которому подчиняется быстродвижущийся электрон.

Прежде всего оказалось, что электрон описывается не одной волновой функцией, а четырьмя.

55

Спин. Две из этих четырех волновых функций, описы­ вающие электрон с положительной энергией, отличают­ ся друг от друга значением новой квантовой величины— проекцией спина на направление движения.

Это квантовое число впервые было введено Д. Уленбеком и С. Гаудсмитом для объяснения эксперименталь­ ных данных. Их представление о спине отличалось боль­ шой наглядностью, так как было связано с представле­ ниями классической физики. Поэтому с точки зрения последовательной квантовой механики оно неправильно, но вполне удовлетворяет нашему инстинктивному стрем­ лению к наглядной картине, что заставляет и нас сказать

онем.

Д. Уленбек и С. Гаудсмит выяснили: для того, чтобы

получить правильное значение отношения магнитного момента атома к его механическому моменту, необходи­ мо предположить существование собственного вращения электрона вокруг своей оси. Механический (угловой) момент такого вращающегося электрона был назван спи­ ном. С этим вращением связывается собственный магнит­ ный момент электрона.

Правильное же представление о спине следует из уравнения Дирака. Оно заключается в том, что спин яв­ ляется просто новой квантовой величиной, характеризую­ щей электрон, и нет никаких оснований для его нагляд­ ной механической интерпретации.

Состояния с отрицательной энергией. Пожалуй, самой поразительной чертой решений уравнения Дирака было то, что два из них описывали электрон с отрицательной энергией. Это существование состояний с отрицательной энергией связано с учетом требований специальной тео­ рии относительности,, то есть имеет релятивистскую при­

роду.

Действительно, в отличие от энергии частицы в клас­

56

сической механике £ = | _ , в релятивистской механике

связь между энергией и импульсом выражается более

сложно: Е2 = р2с2 + т 2с4.

Если теперь найти энергию, то из-за того, что корень может иметь два знака, она принимает два значения.

Е1= - \-\/Гр2с2+ т 2с4 и Ей——V р &-\-гг?с4,

где р — импульс, т — масса,

с — скорость света.

Но в релятивистской механике эта трудность легко устранялась, так как энергия могла изменяться только

умноженной на с2. Вследствие конечной массы покоя электрона достаточно было предположить, что электрон с самого начала обладает положительной энергией и он никогда бы не смог перейти в состояния с отрицательной энергией, так как для этого ему нужно было бы скачком изменить свою энергию. Наименьшая величина этого энергетического скачка равна

Е1—Е2= + т 0с2— (—т 0с2) = 2 т 0с2.

Однако в квантовой механике на примере осцилятора и атома мы выяснили, что квантовомеханическая си­ стема имеет дискретные уровни энергии и изменяет свою энергию скачком. Поэтому в релятивистской квантовой механике нельзя отбрасывать решения, описывающие электрон с отрицательной энергией. Но в таком случае все электроны с положительной энергией спонтанно (са­

57

мопроизвольно) перескочили бы в состояния с отрица­ тельной энергией, и мы никогда их не наблюдали бы.

Чтобы разрешить эту трудность, Дирак выдвинул не­ ожиданную и красивую идею. Он предположил, что все состояния с отрицательной энергией уже заняты электро­ нами, и электронам с положительной энергией перехо­ дить некуда. Эти состояния с отрицательной энергией, так называемый подвал Дирака, представляют из себя то, что раньше привыкли называть вакуумом. И вот ока­ зывается, что этот вакуум до отказа забит частицами.

Но на этом не кончались неожиданные следствия гипотезы. Предположим, что в результате какого-то внеш­ него воздействия, например со стороны электромагнит­ ного поля, электрон, занимающий состояние с отрица­ тельной энергией, переходит в состояние с положитель­ ной энергией. Тогда в фоне электронов с отрицательной энергией появится дырка. Она ведет себя как частица с массой, в точности равной массе электрона, но с зарядом, противоположным заряду электрона. Эта дырка может наблюдаться на опыте (и наблюдалась в 1932 году), то есть существует вполне реально. Ее называют античасти­ цей электрона — позитроном.

Так как электромагнитное поле — это совокупность фотонов, то фотон, энергия которого больше 2 ш0с2, мо­ жет отдавать свою энергию электрону с отрицательной энергией, который выскочит на уровень с положительной энергией. Таким образом, происходит исчезновение фото­ на и рождение обязательно двух частиц: электрона и по­ зитрона.

С другой стороны, если электрон с положительной энергией упадет в свободное состояние с отрицательной энергией, то происходит уничтожение электрона и позит­ рона, а выделяемая энергия, наименьшая величина кото­ рой равна 2ш0с2, уносится фотонами. Такой процесс

58

уничтожения электрона и позитрона называется анниги­ ляцией.

Таким образом, релятивистское уравнение Дирака для электрона дает нам огромное количество информа­ ции. Самое главное при этом то, что, начав с рассмотре­ ния одного электрона, мы приходим к необходимости рассматривать большое количество электронов, так как их число может меняться за счет рождения частиц внеш­ ним полем, а также аннигиляции.

Если вспомнить, что свободное электромагнитное по­ ле — это не один фотон, а сколько угодно, то, естествен­ но, возникает вопрос: может быть, уравнение Дирака, сформулированное для одного электрона, и, как оказа­ лось на самом деле, описывающее много электронов, представляет собой уравнение для поля, подобно уравне­ ниям электромагнитного поля? Положительный ответ на этот вопрос привел к расширению наших знаний об эле­ ментарных частицах и полях. Подвал Дирака оказался при этом лишь удобной наглядной картинкой. Настоящее же понимание волновых и корпускулярных свойств было достигнуто созданием полевой теории, которая будет рас­ смотрена в следующей главе.

Теория рассеяния

В квантовой механике и теории поля центральную роль в математическом аппарате играет теория рас­ сеяния.

Процесс рассеяния состоит в том, что частица, нале­ тающая на частицу мишени, отклоняется от своего пер­ воначального направления. По величине этого отклоне­ ния можно судить о свойствах сил, действующих между частицами.

69