Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

из них дает наименьшие дисперсии для отклонений от эмпириче­

терий, чтобы установить, является ли подгонка относительно оцен­ ки линии регрессии значимо отличной от экспериментальной ошибки. Всегда выгодно иметь достаточное число повторений опыта, чтобы обеспечить несколько степеней свободы для оцени­ вания ошибки, уменьшая тем самым средний квадрат ошибки до возможно малого значения, определяемого соображениями экономичности/

Пример 8.1.2. Одномерный эксперимент с повторением С целью расширения эксперимента из примера 8.1.1 были про­

20

10020*

21

Здесь символом* обозначены старые значения.

матрица (вектор) g 11,470-10* 1,153-103],

коэффициенты регрессии

Ъ0 = -7,616, by = 3,483.

Результаты соответствующего дисперсионного анализа приве­ дены в табл. П.8.1.2а.

Символом * отмечены значимые величины.

Простой расчет дает результат, аналогичный результату в при­ мере 8.1.1, а именно остаточную сумму квадратов

,309,0 + 9,33

318,33

Символом * отмечены значимые величины.

Возможно, что линеаризованная форма некоторой нелинейной (по коэффициентам) модели типа

In Y = а + ßz + e

лучше описывала бы эти данные и привела бы к незначимым, соглас­ но F-критерию, отклонениям от эмпирической линии регрессии. Ради экономии места соответствующие расчеты здесь не приводят­ ся, но общий метод теперь должен быть ясен.

8-1-2. Двумерные модели и планы экспериментов

Теперь рассмотрим модели, содержащие две геометрические координаты и одну зависимую переменную. Метод поверхности отклика можно сделать наиболее эффективным, если использовать ортогональные планы. Когда оценки коэффициентов являются орто­ гональными 1 ) , при данном объеме экспериментов можно получить максимальный объем информации.

1 ) Термин «ортогональные оценки» требует уточнения. Оценки пара ­ метров являютс я линейными функциями наблюдаемых значений зависимой переменной У г . Каждой линейной функции можно поставить в соответствие вектор коэффициентов, входящих в данную функцию. Под ортогональными оценками автор понимает оценки, которым соответствуют ортогональные векторы. Легко показать, что ортогональные оценки представляют собой случайные величины, которые взаимно некоррелирова'ны.— Примред.

Ортогональные планы экспериментов представляют собой такие схемы независимых переменных, при которых для всех пар разных индексов J ж к суммы по наборам данных і — 1, 2, . . ., п обра­ щаются в нуль 1 ) , т. е. 2 xijxik — 0 П Р И 1 Ф к. В последующем

і

изложении под термином размерность будет пониматься число геометрических координат, необходимое для описания отклика, исключая координату самого отклика. Термин порядок модели будет означать степень полинома, составляющего модель (первая степень — первый порядок, вторая степень — второй порядок и т. д.). Порядок плана связан с порядком модели, т. е. план пер­ вого порядка можно использовать для оценивания линейных моде­ лей первого порядка с размерностью, равной 1, 2 и больше, но не для моделей второго порядка. Хотя планы второго порядка и мож­ но использовать для оценивания моделей первого порядка, они потребовали бы большего числа опытов, чем действительно необ­ ходимо.

Наиболее простой двухуровневый факторный 2 ) план экспери­ мента (план 22 ), пригодный для двумерной модели первого порядка

Уровни (хй == 1 для всех уровней)

Для обеспечения повторений эксперимента, необходимых для оценивания экспериментальной ошибки, весь ряд этих значений должен быть пройден два или три раза. Альтернативным способом обеспечения нужного числа повторений при меньшем объеме экспе-

время, концентрация). Если этой экспериментальной переменной нельзя приписать определенное количественное значение, фактор может носить

место четыре возможные комбинации условий эксперимента; такой экспе­ римент называется двухуровневым факторным экспериментом, или, сокра­ щенно, планом 22 .