Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Несколько таких многоугольников изображено на фиг. 8.1.4. Используя в качестве примера восьмиугольный план, матрица

Л/ /

с для которого дана в примере 8.1.3, получаем для дисперсии Yt

и, таким образом, для каждой точки получаем одну и ту же дис­ персию

Var {Yt} = Var {b0} + 0,375.

Пример неротатабельного плана, в котором каждая независи­ мая переменная фиксируется на уровнях + 1 , 0 и —1 и исполь­ зуются все комбинации всех уровней, приведен на фиг. 8.1.5. Для такого плана число экспериментов можно записать в общем

рована поверхность отклика относительно переменных х, исполь­ зование ротатабельных планов представляется весьма логичным1 ).

Приступая к некоторой программе экспериментов при условии, что априори ничего неизвестно о природе поверхности отклика, экспериментатор начнет, вероятно, с модели первого порядка, чтобы посмотреть, насколько хорошо она описывает данные. Если

эта модель не согласуется с данными, то следует попытаться подогнать модель второго порядка. Для того чтобы сделать это эффективно, первоначальный план первого порядка должен быть таким, чтобы его можно было расширить до плана второго порядка простым добавлением экспериментальных точек. Простой план первого порядка, который можно дополнить до некоторого плана второго порядка, в частности восьмиугольного плана, показан на фиг. 8.1.4. При использовании таких планов полученные дан­ ные следует рандомизироватъ, т. е. должны быть рандомизированы различные комбинации экспериментальных переменных.

Теперь обратимся к некоторым примерам, чтобы проиллюстри­ ровать принципы и методы, изложенные выше.

Пример 8.1.3. Последовательное экспериментирование с целью

получения подходящей модели

Следующие данные были получены по плану первого порядка (фиг. 8.1.1), который в случае необходимости можно дополнить до восьмиугольного плана.

*) Построение ротатабельных планов обсуждается в [1—31.

514 Глава 8

Число степеней свободы для суммы квадратов отклонений от оценки линии регрессии равно числу наборов xt, 9, минус число jTOCTOHHHbix, 6, т. е. равно 3, а число степеней свободы для суммы

в центре, равно числу повторных измерений, 4, минус число огра­ ничений, 1, т. е. равно 3. Дисперсионный анализ показывает, что модель второго порядка хорошо согласуется с экспериментальны­ ми данными и что член взаимодействия в модели можно опустить.

Так как подходящая модель найдена, ее можно использовать для оптимизации и дальнейшего анализа.

Пример 8.1.4. Проблема недостаточного числа повторений опытов [4]

Рассмотрим следующую матрицу, основанную на факторном плане типа 22 с повторением опытов в центральной точке:

Оценка уравнения регрессии, основанная на использовании моде­ ли первого порядка, имеет вид

Y = 80,8 — 1,7а:! — 2,8ж2 .

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. П.8.1.4а. Ни один из средних квадратов, исключая 39155,7, не является значимо отличным от 1,6. Этот парадокс возник в силу того, что

с дисперсией ошибки связана лишь одна степень свободы. Беглый просмотр таблиц для і^-статистики показывает, что несколько повторных опытов в точке (0, 0) могли бы существенно увеличить