Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

риментирования является повторение эксперимента для цент­ ральной точки плана (0, 0). В регрессионном анализе предполагает­ ся, что ошибка в каждой точке одна и та же. Оценки коэффициен­ тов нетрудно рассчитать по выражению (5.1.10) в силу ортогональ­ ности вектор-столбцов, соответствующих х0, хѵ и х2. Заметим, что

Теперь несколько слов следует сказать о кодировании. В при­ мере 8.1.1 значения температуры кодировались так, чтобы полу­ чился ряд целых чисел. В факторном плане 22 каждую комбинацию

5 р,нгс/смг

факторов можно представить как вершину квадрата в двух изме­ рениях (фиг. 8.1.1). Если переменная x t обозначает кодированную температуру, а х2 — кодированное давление, исследователь про­ водит серию из четырех экспериментов для таких пар значений (it, р), чтобы после соответствующего преобразования получился факторный план. Например, эксперимент мог быть проведен при температуре 100 и 120° С и давлении 1 и 5 кгс/см2 . Тогда кодирован-

ные значения можно было бы ввести следующим образом:

*(°С) —110

Xf- 10

р (кгс/см2 ) —3

%2 '

План на фиг. 8.1.1 позволяет также оценить неадекватность вслед­ ствие:

1) взаимодействия между хх и х2 (вычисляется коэффициент &1 2 в оценке уравнения регрессии, например типа (8.1.5));

(О, І2)

2) влияния квадратичных членов (вычисляя разность между средним по четырем периферийным точкам и средним по опытам

Стратегия эффективного экспериментирования 509

и средним по опытам в центральной точке дает некоторую меру неадекватности. Так как план на фиг. 8.1.2 содержит лишь четыре набора независимых переменных, можно использовать самое боль­

описания экспериментальных данных, экспериментатор обычно

содержит шесть коэффициентов, то для подгонки уравнения (8.1.5) необходимо получить оценки трех дополнительных коэффициентов, помимо коэффициентов линейной модели, а именно Ън, Ъ22 и Ь12, причем последний из них связан с так называемым членом взаимо­ действиях! х2. Планы эксперимента типа показанных на фиг. 8.1.1 и 8.1.2 недостаточны для оценивания шести коэффициентов.

Исследование матрицы переменных для модели (8.1.5)

с точки зрения выше упомянутого двухуровневого факторного плана показывает, что столбцы для х0, х\ и х\ полностью совпадают. Следовательно, невозможно различить между собой коэффициенты b0, Ьи и Ъ22, используя планы типа описанных до сих пор (что при­ водит к смешиванию), хотя коэффициент biZ и можно определить. Так как неадекватность можно объяснить, вычисляя член Ъі2, становится очевидным, что простое добавление члена взаимодей­ ствия к модели первого порядка не может служить достаточным основанием для использования модели

вместо полной модели второго порядка (8.1.5) без предварительного испытания последней.

Геометрическая интерпретация плана 22 , изображенного на на фиг. 8.1.1, наводит на мысль повернуть его на 45°, что даст план,

и х2. Так как ориентация поверхности отклика обычно неизвестна, по крайней мере в начале программы экспериментов, использовавание модели (8.1.6) без предварительного испытания полной модели второго порядка может легко ввести в заблуждение.

(0,0)

Ротатабельными планами называются такие планы, для кото­ рых дисперсия Y одинакова во всех периферийных точках плана. Для планов первого порядка, используя оценку уравнения рег­ рессии

крайней мере одной центральной точкой любого (п — 1)-мерного правильного многоугольника, который можно вписать в круг.

х ) Условие равенства Ѵаг {У;} в периферийных точках недостаточно сильное. На самом деле ротатабельное планирование обеспечивает равенство дисперсий величины Y j в любых точках пространства независимых перемен­ ных, одинаково удаленных от центра. — Прим. ред.