Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 678

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оценивание параметров обыкновенных дифференциальных уравнений 709

9.8. Предполагаемая

модель имеет

вид

 

 

 

 

 

 

h{CB —

k2CE,

 

 

 

 

~t

 

К і С в >

 

 

 

 

 

" ^

— kyCB

— kzCi),

 

 

 

 

dt

=

k2Cr>.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Начальные условия для CD

и CE

нулевые, a начальные

условия

для СА и Св

неизвестны. Несколько значений CD

для пяти опы­

тов приведено в

табл. 3.9.8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

3.9.8

Опыт

 

 

 

Время, с

 

 

 

80

160

 

320

640

1280

 

 

 

 

1

14,7

23,4

 

34,3

34,6

20,3

 

2

3,72

3,81

 

17,2

20,0

23,9

 

3

13,3

27,1

 

43,0

58,0

49,0

 

4

30,8

44,4

 

46,7

24,9

2,94

5

62,6

88,0

 

89,5

43,4

5,80

Опишите два способа, с помощью которых можно по этим дан­ ным оценить коэффициенты кх и к2 (кі > 0, к2 > 0). Можно ли оценить начальные условия для СА и Св в каждом опыте? Изобра­ зите для каждого опыта приближенную доверительную область

впространстве kit к2. Какой вывод можно сделать?

9.9.В работе [23] реакции

A + B-Hc

+ F,

А + С XD

+ F,

А + ПЛЕ

+ F

моделировались следующим образом:

dA

— kiAB — k2AC — ksAD,

dt

 

 

dB

— ktAB,

 

dt

 

 

 

dC

kiAB —

k2AC,

dt

 

 

dD

k2AC —

k3AD,

dt

 

 

dE

dt k3AD.

710

 

Глава

9

 

 

Оцените константы (положительные) Al t к2 и к3 по следующим

экспериментальным

данным:

 

 

 

 

 

С(0) = Л(0)

= о ,

 

 

 

 

А (0) = 0,02090 моль/л,

 

 

 

 

В(0)=4Л(0) •

 

 

Время,

А-юз,

Время,

А-103,

Время,

А-103,

мин

моль/л

мин

моль/л

мин

моль/л

4,50

51,40

46,33

9,780

147,92

6,646

8,67

14,22

57,00

9,157

198,00

5,883

12,67

13,35

69,00

8,594

241,75

5,322

17,75

12,32

76,75

8,395

270,25

4,960

22,67

11,81

90,00

7,891

326,25

4,518

27,08

11,39

102,00

7,510

418,00

4,075

32,00

10,92

108,00

7,370

501,00

3,715

36,00

10,54

 

 

 

 

В этой работе были получены следующие оценки: кі = 14,7; к2 = 1,53; к3 = 0,294.

Можно было бы получить оценки, если бы начальные условия были неизвестны?

9.10. Икман (частное сообщение) получил ряд имитированных

данных для подгонки

модели:

 

 

dCj

—kiCACB

— k2CACD,

(a)

dt

 

 

 

dCB

- k £ A C B

,

(6)

dt

 

 

 

*Cf

= k£ACB,

 

(в)

^

= к£АСв-кгСАСв,

 

(г)

^ . ^ k A C A C D ) i

/ 2 .

(д)

При получении данных, отмеченных в табл. 3.9.10 как «истинные»,

использовались

значения

к^ = 0,3,

к2 =

0,01,

СА

(0)

= 1 , 5

и Св (0) =

1,0.

Экспериментальная ошибка имитировалась

добав­

лением к

истинному

значению

нормальной

случайной

ошибки

со стандартным

отклонением от 0,01 до 0,09. Значение ае

=

0,01

соответствовало приблизительно 2%-ной ошибке в значении

Ct.

«Хорошие»

данные

соответствовали

сте

= 0,01,

а

«плохие»—

о-ел =

0,07, аев

= 0,08, огС

= 0,05, aeD

=

0,02 и аеЕ

=

0,09.

 

а) Являются ли независимыми все дифференциальные

урав­

нения

модели?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Можно ли оценить параметры кі и к2 исключительно по кон­

центрации

одного компонента?

Если можно, то какого?

 

 

Оценивание параметров обыкновенных

дифференциальных

уравнений

711

 

 

Таблица

3.9.10

И м и т и р о в а н н ы е д а н н ы е

о концентрации

 

 

Время

 

 

 

 

0,00

1,5000

1,0000

0,0000

1,00

1,1529

0,6747

0

3252

 

1,1652

0,6795

0,3185

 

0,1147

0,6198

0,3111

2,00

0,9333

0,4944

0,5055

 

0,9251

0,4887

0,5060

 

0,9465

0,5279

0,5352

3,00

0,7806

0,3828

0,6171

 

0.7941

0,3771

0,6224

 

0,7022

0,4256

0,6145

4,00 -

0,6675

0,3083

0,6916

 

0,6803

0,3106

0,6927

 

0,6495

0,2993

0,7034

5,00

0,5801

0,2558

0,7441

 

0,5724

0,2547

0,7869

 

0,5133

0,2468

0,6495

6,00

0,5104

0,2173

0,7826

 

0,5103

0,2215

0,7863

 

0,5383

0,1855

0,7144

7,00

0,4535

0,1881

0,8118

 

0,4528

0,1897

0,8237

 

0,4501

0,2103

0,8014

8,00

0,4060

0,1653

0,8345

0,4072

0,1626

0,8264

 

 

0,3689

0,1979

0,8312

9,00

0,3658

0,1473

0,8526

0,3705

0,1494

0,8624

 

 

0,3961

0,1489

0,9286

10,00

0,3314

0,1327-

0,8672

0,3276

0,1327

0,8744

 

 

0,3397

0,1061

0,8383

0,0000

0,3035

0,3056

0,3033

0,4444

0,4442

0,4372

0,5148

0,5136

0,5058

0,5508'

0,5570

0,5479

0,5684

0,5688

0,5916

0,5758

0,5790

0,5376

0,5772

0,5750

0,5738

0,5752

0,5766

0,5874

0,5711

0,5736

0,5725

0,5659

0,5613

0,5756

0,0000

0,0434

0,0430

0,0492

0,1221

0,1201

0,1321

0,2044

0,2090

0,2048

0,2815

0,2806

0,2770

0,3513

0,3536

0,3294

0,4136

0,4103

0,4688

0,4691

0,4707

0,4837

0,5186

0,5135

0,4671

0,5628

0,5699

0,6203

0,6024

0,6028

0,6599

Характеристика

данных

Истинные

Истинные

Хорошие

Плохие

Истинные

Хорошие

Плохие

Истинные

Хорошие

Плохие

Истинные

Хорошие

Плохие

Истинные

Хорошие

Плохие

Истинные

Хорошие

Плохие

Истинные

Хорошие

Плохие

Истинные

Хорошие

Плохие

Истинные

Хорошие

Плохие

Истинные

Хорошие

Плохие

в) Оцените /ct и кг для каждого из трех наборов данных, отме­ ченных как «истинные», «хорошие» и «плохие».

9.11. Имитируйте экспериментальные данные для следующей системы дифференциальных уравнений, добавляя нормальную слу­ чайную ошибку к зависимым переменным R, S, T, U, W, X и У:

-^-

= -kiRS — k2RS—k3RS+k9T

+ ki0W,

~

= —kiRS—kzRS—kaRS—keTS

— ^US —

-k8US + к9Т + kaW + кцХ + kaY,

^dTr = kiRS—k6T—k6TS

— kç)T,

712

Глава 9

—= k2RS + к5Т — k7US — k8US + кцХ - f ÄiaY,

Спланируйте подходящий набор экспериментов для оценива­ ния параметров А4 — кі2 и проведите это оценивание.

Каждый параметр &г можно представить в виде

где

Т* — абсолютная

 

температура. Для следующих значений р ;

и bt

снова подготовьте имитированные данные, но на этот раз оце­

ните PJ И ft;.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

Pi

b{

i

 

Pi

bj

i

 

pj

bj

 

1

6,3-Ю-з

17800

 

5

2,8-10-2

ізюо

9 6,7-10-2

28900

2

2,1-10-3

18000

 

6

5,0-10-*

14000

10

2,8

16000

3

9,0-10-3

11100

 

7

4,9.10-4

20800

11 1,03-10-1

14600

4 1,1-10-3 12300

 

8

5,6-10-*

4330

12 3,5-10-1

10800

При наличии большой цифровой вычислительной машины для

имитирования

можно

 

использовать

MIMIC,

в противном

случае

имитирование

можно

 

осуществить

на вычислительной

машине

гибридного типа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.12. Численно продифференцируйте хорошие и плохие

данные

задачи 9.10. Оцените дисперсию производных через дисперсии каждой наблюдаемой переменной. Выберите схему дифференци­

рования, для которой детерминированная численная

ошибка

в производной меньше чем 10% от оценки стохастической

ошибки

впроизводной.

9.13.Было предложено два метода получения производных для использования в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Один из них — численное дифференцирование экспериментальных данных. Другой заключается в том, чтобы сначала подогнать к этим данным некоторый многочлен, а затем аналитически продифферен­ цировать его. Какой из методов приведет к наименьшей дисперсии производных? Объясните.

9.14.Интерполяционная формула Ньютона дает выражение для производных через разности:

Смотрите также файлы