Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 677

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Оценивание

параметров

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

713

Следующие данные были взяты из экспериментов по высушиванию:

У, кг Н2 0/кг

,

У, кг Н2 0/кг

, M W

сухого вещества

' т и н

сухого вещества

'

0,1834

0,9

0,1313

1,2

0,1634

1,0

0,1198

1,3

0,1460

1,1

0,1117

1,4

Начиная с приращений A.Y при t = 0,9 мин, вычислите ДУ Г

А2 У и т. д. и подсчитайте (Л7<Й) < = 0 , 9 . Затем вычислите

дисперсию

производной,

предполагая, что дисперсия каждого наблюдаемого

значения

Y

составляет 1% от значения в таблице.

 

9.15. Примените метод наискорейшего спуска для оценивания

методом

наименьших квадратов параметров

модели

т) = ß 0 +

+ Ріж і + р 2 ж ?

Для непрерывных данных. Нарисуйте блок-схему

для расчета

на аналоговой вычислительной

машине.

 

9.16.Используйте метод ошибки уравнения для оценивания коэффициентов модели в задаче 9.5 для непрерывного отклика. Для проведения расчетов используйте вычислительную машину гибридного типа или аналоговый модулятор типа MIMIC цифровой вычислительной машины. Выберите определенные значения пара­ метров дифференциального уравнения и добавьте к отклику Y известную нормальную случайную ошибку.

9.17.Выполните решение задачи 9.16 с помощью метода после­ довательного оценивания. Может возникнуть необходимость использовать конечные оценки • параметров, полученные этим методом, в качестве начальных предположений для повторного проведения процедуры оценивания.

9.18.В табл. 3.9.18 указан выход (концентрация) нужного компонента Р, образующегося в следующей реакции:

А+В-+Р, А + Р-^В.

Так как начальная концентрация компонента А была много боль­ ше, чем В, то количество А, расходуемое в реакции, было неболь­ шим и концентрацию А можно было считать практически постоян­ ной.

Допустим, что предлагаемая модель системы реакций имеет следующий вид (начальные концентрации известны):

dcA

— — k\C g — k2c p,

cA(0)

=

CA0

dt

 

 

 

 

des

= — kiCß,

cB(0)

=

СВ0:

dt

 

 

 

(a>

dcp

 

C p ( 0 )

 

— kiCß — k2Cp,

 

 

dt

 

 

 

 

cß (0) = 0.


7 1 4

 

 

Глава

9

 

 

 

 

 

Р (моль/л) - 102 при

Таблица

3.9.18

 

 

К о н ц е н т р а ц и я

70 °С

 

Опыт

С В о , моль/л

 

t, ч

 

 

2

4

8

16

 

 

1

1

1

3,17

5,39

8,66

15,9

22,6

2

1

14,7

23,4

34,3

34,6

20,3

3

2

4,80

10,8

22,5

34,6

42,0

4

2

23,2

39,0

55,6

63,4

41,6

5

1

3,72

3,81

17,2

20,0

23,9

6

1

17,9

28,3

40,5

34,2

21,6

7

2

8,60

13,3

25,9

39,8

50,8

8

2

30,9

51,4

72,2

76,4

38,9

9

1

7,48

9,93

20,0

30,9

24,9

10

1

25,3

35,3

39,1

28,4

7,50

11

2

13,3

27,1

43,0

58,0

49,4

12

2

50,8

75,6

84,2

57,0

11,5

13

1

9,15

15,8

27,5

33,9

23,0

14

1

30,8

44,4

46,7

24,9

2,94

15

2

22,8

37,2

57,9

69,1

53,9

16

2

62,6

88,0

89,5

43,4

5,80

 

а)

По

данным табл. 3.9.18

оцените значения &t и

к2.

 

 

 

б)

Постройте

совместную доверительную область для кі

и

к2

{доверительные

вероятности

80

 

и

95%).

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Отложите на графике и проанализируйте остатки в каждом

опыте.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

 

 

 

 

 

 

1. Collatz

L . ,

The

Numerical

Treatment

of Differential Equations, Springer-

 

Verlag,

Berlin,

1960;

есть

р у с с к и й

перевод: К о л л а т ц

JL,

Численные

ме­

 

тоды

решения

дифференциальных

уравнений,

И Л ,

1953.

 

 

 

2.

Kaplan

W . , Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley, Reading,

 

Mass.

 

1958.

Ind.

Eng.

Chem.,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Carberry J . J . ,

 

56

(11), 39

(1964).

 

 

 

 

 

4 .

Wilkes

J. 0 . , . The Finite Difference Computation on

Natural

Convection

 

i n

an

Enclosed

Rectangular Cavity, Ph. D . Thesis,

U n i v . of

Michigan,

 

Ann .

Arbor,

1963.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Henrici

P., Discrete Variable Methods on Ordinary Differential

Equations,

 

W i l e y ,

N . Y . , 1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Lapidus

L . , Digital Computation

for

Chemical

Engineers, M c G r a w - H i l l ,

 

N . Y . ,

1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Certaine J., The

Solution

of Ordinary

Differential Equations w i t h

Large

 

Time Constants, i n : Mathematical Methods for Digital Computers, Ralston A - ,

 

W i l f

H . S.

(eds.), W i l e y ,

N . Y . ,

1960.

 

 

 

 

 

 

 

8.

Ball W .

E.,

Groenweghe L . C.

D . ,

Ind.

Eng.

ChemFundamentals,

5,

181

 

(1966).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Fehlberg E . , Numerically

Stable

Interpolation Formulas

w i t h

Favorable

 

Error Propagation for First and

Second Order

Differential

Equations,

 

Techn.

Note D-599, National Aeronautics and

Space

Administration,

 

March

 

1961.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Hamming R. W . , Stable Predictor-Corrector Methods for Ordinary

Diffe­

 

rential

Equations, / .

ACM,

6,

37

(1959).

 

 

 

 

 

 

 


 

Оценивание

параметров

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

715

11. Young Р . С., Simulation,

125 (March

1968).

 

 

 

 

12.

Mishkin

Е . ,

Braun L . ,

Adaptive

Control

Systems,

M c G r a w - H i l l ,

N . Y . ,

 

1961.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

Himmelblau D . M . , Jones C. R., Bischoff К . В . , Ind.

Eng.

Chem.

Funda­

 

mentals,

6,

539 (1967).

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

Loeb J.,

Cahen G., Automatisme,

8,

479

(1963).

 

 

 

 

15.

Carney T . M . , Goldwyn

R. M . , / . Opt.

Theory and

Applications,

1,

113

 

(1967).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

Kaiman

R. E . , New Methods and

Results

i n Linear

Prediction and

F i l ­

 

tering Theory, in : Proceedings of

the First Symposium on Engineering

 

Application

of Random

Function

Theory and Probability, W i l e y ,

N . Y . ,

 

1963.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

Bellman

R. E., Kalaba

R. E., Quasilinearization and Nonlinear Boun­

 

dary-Value Problems, American Elsevier, N . Y . , 1965, Ch. 1; есть русский

 

перевод:

Беллман Р . , Калаба Р . , Квазилинеаризация и нелинейные

 

краевые

задачи, изд-во

«Мир»,

1968.

 

 

 

 

 

 

18.

Donnelly

J. К . , Quon

D . , Preprint 19F, Second

Joint

A I C h E - I I Q P R

 

Meeting,

Tampa, Fla., May 1968.

 

 

 

 

 

 

 

19.Bellman R. E . , Jacquez J., Kalaba R. E., Schwimmer S., Rand Memoran­ dum RM-4721-NIH, Aug. 1965.

20. A s t r ö m

К . J., Preprints of the

International

Federation

of

Automatic

 

Control,

Paper

1.8,

Prague, Czechoslovakia,

June

1967.

 

 

 

 

•21 .

Cramer

H . , Mathematical Methods of Statistics,

Princeton

U n i v .

Press,

 

Princeton, N . J . , 1946.

 

AIChE

 

J.,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

Thaller

L . H . , Thodos

G.,

 

6,

369

(1960).

 

 

 

 

 

23.

Svirbely W .

J., Blaner

J. A . , J.

Amer.

Chem.

Soc,

 

83,

4118 (1961).

 

 

 

 

 

 

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общие

вопросы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cuenod

M . , Sage A . P., Comparison

of

Some Methods Used

for Process

Identification,

Automatica,

 

4, 235 (1968).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Deutsch

R.,

Estimation Theory,

Prentice-Hall,

Englewood

Cliffs,

N . J . ,

1965.

 

 

 

 

 

 

 

 

D . W . , H a l l J. G., Phys.

Fluids,

 

 

 

 

Eschenroeder A . Q., Boyer

5,

615

(1962).

 

Eykhoff

P.,

IEEE

 

Trans.

Auto.

Control,

AC8,

347

 

(1963).

 

 

 

Eykhoff

P.,

Process Parameter and

State

Estimation,

Automatica,

4, 205

(1968).

 

D . Q., Parameter Estimation, Automatica,

 

 

 

 

 

 

 

 

Mayne

 

3,

245

(1966).

 

 

Stevenson

P. C.,

Processing of Counting Data,

National Academy of Scien­

ces,

NRC, 1966,

Ch.

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценивание методом н а и м е н ь ш и х квадратов

 

 

 

 

Aberbach L . В . , Estimation of

Parameters

i n

Differential

Equations,

Ph. D .

Dissertation, Princeton Univ . , Princeton, N . J . , 1967.

 

 

 

 

Bekey G. A . , McGhee R. В . , Gradient Methods for the Optimization of

Dynamic System

Parameters by

H y b r i d

Computation,

in : Computing Methods

for

Optimization Problems,

Balakrishnan

A . V . , Neustadt L . W . , (eds.),

Acade­

mic Press, N . Y . , 1964, p. 305.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Box G. E. P.,

Use of Statistical Methods in the

Elucidation of Basic

Mecha­

nisms,

Bull.

 

Inst,

de

Statistique,

36,

215

(1957).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Box G. E . P., Coutie

G. A . , Application of D i g i t a l Computers

i n the

Explo­

ration

of Functional

Relationships,

Proc.

Inst.

Elec.

Eng.

(London), 103B,

Supl.

1, 100 (1956).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Techno­

 

Box G. E. P., Hunter W . G., A Useful Method for Model Building,

metrics,

4,

301

(1962).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


716

 

 

 

 

 

Глава

9

 

 

Hartley H . О., The Estimation of Nonlinear Parameters by Internal Least

Squares, Biometrika,

35,

32

(1948).

 

 

 

 

Meissinger

H . F., Bekey G. A . ,

A n

Analysis of Continuous

Parameter

Identification

Methods,

Simulation,

6,

94 (Feb.

1966).

 

Rubin A . I . , Driban S., Miessner W . W . , Regression Analysis and Para­

meter

Identification,

Simulation,

7,

39

(July,

1967).

 

 

 

Оценивание с помощью ошибки уравнения

 

Graupe К . К . , The Analog Solution of Some Functional Analysis

Problems,

Trans.

AIEE

Comm.

and

Electronics,

79, 793

(1960).

 

Hoberock

L . I . , Kohr R. H . ,

A n

Experimental Determination

of Diffe­

rential Equations to Describe Simple Nonlinear Systems, Joint Automatic

Control

Conference

Preprints,

1966,

p.

616.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lion P. M . , Rapid Identification of Linear

and

Nonlinear

Systems,

Joint

Automatic

 

Control

Conference

Preprints,

1966,

p.

605.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последовательное оценивание

 

 

 

 

 

 

Davenport

W . В . , Root W . L . , A n

Introduction

to the Theory of Ran­

dom

Signals

and

Noise,

M c G r a w - H i l l ,

N . Y . ,

1958;

есть русский

перевод:

Девенпорт

Р . ,

Ру т

В . ,

Введение в

теорию случайных

сигналов

и ш у м о в ,

И Л ,

1960.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Detchmendy D . M . , Sridhar

R.,

Sequential

Estimation

of States and

Para­

meters

i n

Noisy

Nonlinear

Dynamic

Systems,

Trans.

ASME,

J. Basic

 

Eng.,

88D,

362

(1966).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Friendlander

В . ,

Bernstein

 

I . , Estimation

of

a

Nonlinear

Process i n

the

Presence of non Gaussian Noise

 

and

Disturbances,

/ .

Franklin

Inst.,

281,

455

(1966).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ho

Y . C ,

Lee R. C. K . , A

Bayesian

Approach

to Problems i n Stochastic

Estimation

 

and

 

Control,

 

IEEE

 

Trans.,

AC-9, 333

(1964).

 

 

 

Inf.

 

Ho

Y .

C ,

Lee R. С. K . , Identification of

Linear

Dynamic Systems,

 

and

Control,

 

8,

93 (1965).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kaiman

R.

E . , Bucy R. S.,

 

New Results i n Linear Filtering and Prediction

Theory,

Trans.

ASME,

J.

Basic

Eng., 83D, 95

(1961).

 

 

 

 

 

 

Rosenbrock

 

H .

 

H . ,

Storey

C ,

Computation

Techniques

for

Chemical

Engineers, Pergamon Press, Oxford, 1966, Ch. 8; есть русский перевод: Ро -

аенброк X . , Стори С ,

Вычислительные методы для инженеров - химиков,

изд-во «Мир», 1968.

 

Smith G. L . , Schmidt

S. F., McGee L . E . , Application of Statistical Filter

Theory to Optimal Estimation of Position and Velocity on Board a Circum-

lunar Vehicle,

N . A . S . A . T R №

R-135,

1962.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другие вопросы

 

 

 

 

 

 

Allison

J. S.,

On the Comparison of Two Methods of Off-Line Parameter

Identification,

/ .

Math.

Anal.

Applns.,

18, 229 (1967).

 

 

 

 

Howland

J. L . , Vaillancourt

R., A

Generalized

Curve-Fitting

Procedire,

J.

Soc.

Ind.

Appl.

Math.,

9, 165

(1961).

 

 

 

 

 

 

Lee E .

S.,

Quasilinearization

and Invariant

Imbedding: W i t h Applications

to Chemical

Engineering and Adaptive Control, Academic Press, N . Y . , 1967.

 

Levadi V . § . ,

Design of Input Signals for

Parameter

Estimation,

IEEE

Trans.,

A C - U , 205, 1966.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mowery V . 0 . ,

Least Squares Recursive Differential-Correction Estimation

i n

Nonlinear

Problems,

IEEE

Trans.,

AC-10,

399

(1965).

 

 

 

Schneider

H . ,

Multidimensional Parameter

Estimation by the

Summed

Weighted Least Squares Minimization of Remainders, J.

Astronau.

Sei.,

11,

61

(1964).

 

Л . И., Крементуло Ю. В., Автоматика,

 

 

 

 

 

Воронова

2,

3 (1966).

 

 


Глава 10

О Ц Е Н И В А Н ИЕ ПАРАМЕТРОВ В МОДЕЛЯХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И В ЧАСТНЫХ П Р О И З В О Д Н Ы Х

Дифференциальные уравнения с производными по двум и более независимым переменным называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие уравнения описы­ вают самые разнообразные процессы, например движение потока в пористой среде, распределение загрязняющих веществ в воздухе или реке, работу химических реакторов с неподвижным слоем насадки и линий передачи. Дифференциальные уравнения в част­ ных производных могут дать более детальное описание процесса, чем обыкновенные дифференциальные уравнения. Однако, как было показано на фиг. 1.1.2, получение как аналитического, так и численного решения для модели, представленной дифферен­ циальным уравнением в частных производных, является более «ложной задачей, чем получение соответствующих решений для модели, представленной обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Если при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений появляются произвольные постоянные интегрирова­ ния, то общее решение дифференциального уравнения в частных производных п-го порядка содержит п произвольных функций. Следовательно, за исключением уравнений первого порядка и некоторых других частных случаев, редко имеется возможность или возникает необходимость в нахождении общего решения; вместо этого отыскивается частное решение при определенных граничных и начальных условиях.

Одним из стандартных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных является разделение пере­ менных. Решения составляются таким образом, чтобы зависимая переменная (переменные) выражалась через произведение решений двух или большего числа обыкновенных дифференциальных урав­ нений, каждое из которых имеет известное решение. Затем для определения произвольных функций привлекаются начальные и граничные условия, характерные для данной задачи, что позво­ ляет получить однозначное решение для модели.

Вследствие того что граничные условия играют важную роль при построении и решении модели процесса, экспериментатор