Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

718 Глава 10

должен выбирать граничные условия таким образом, чтобы полу­ чить как можно более простое решение, которое, однако, еще можно получить экспериментальным путем. Естественно, что при отсутствии контроля над условиями эксперимента можно ожидатьнеудовлетворительных результатов, поскольку в этом случае модель не будет соответствовать условиям эксперимента.

В данной главе вначале рассматриваются входные сигналы, и соответствующие им выходные сигналы, которые могут исполь­ зоваться для нахождения оценок параметров модели. Затем пока­ зывается, как спланировать эксперимент, чтобы упростить анали­ тическое решение модели процесса. И наконец, будет рассмотреноприменение так называемых детерминированных моментов для оценивания параметров модели.

10.1. В Х О Д Н Ы Е С И Г Н А Л Ы

С точки зрения условий проведения эксперимента и решения модели некоторые входные сигналы более эффективны, чем другие. Наиболее часто для оценивания параметров модели используются

ная последовательность прямоугольных импульсов (случайная

Основной причиной использования в моделях процесса таких детерминированных входных сигналов, как ступенчатый, импульс­ ный (дельта-функция) и синусоидальный, является их удобная математическая форма. Если эти функции используются в каче­ стве входных сигналов, то для заданной модели сравнительно несложно определить выходной сигнал. Выходные сигналы линей­ ных (по зависимым переменным) моделей при синусоидальных входных сигналах обычно рассматриваются непосредственно в про­ странстве изображений по Лапласу, тогда как выходные сигналы при импульсном или ступенчатом входном сигнале анализируются во временной области. На практике описание выходного сигнала, возникающего при синусоидальном входном сигнале, требует большого объема алгебраических выкладок и даже для относи­ тельно несложных моделей получаются более громоздкие выраже­ ния, чем при импульсных входных сигналах. Однако некоторые общепринятые методы проектирования систем управления процес­ сами основаны на откликах системы на синусоидальный входной сигнал в пространстве изображений по Лапласу. Поэтому часто оказывается удобным рассматривать динамику подсистем с нало­ женными синусоидальными входными сигналами. Во временной

оценить коэффициенты линейных систем. Однако, когда синусои­ дальный сигнал вводится в нелинейную систему, на ее выходе происходит неаддитивное смещение частоты и изменение амплиту­ ды. Эквивалентность информации, обеспечиваемой при ступенча­ том, импульсном и синусоидальном входных сигналах для линей­

ступенчатых, импульсных и синусоидальных входных сигналов для исследования характера реального процесса (в отличие от математической модели процесса).

Экспериментальным путемневозможно в точности воспроиз­ вести ступенчатый сигнал, но во многих случаях можно получить входной сигнал, имеющий малое время нарастания по сравнению с постоянной времени процесса, так что такой сигнал будет доста­ точно близок к ступенчатой функции. Преимущество ступенчатого входного сигнала состоит в том, что вся информация о динамике процесса содержится в отклике на одиночный ступенчатый сигнал; следовательно, такой эксперимент выгоден с экономической точки зрения. Но в этом заключается и основной недостаток ступенчатого сигнала: вся информация сосредоточена на небольшом участке графика. При наличии шума значительная часть тонких деталей, имеющихся на графике, не будет обнаружена.

Если ступенчатая функция связана с переходом процесса из одного установившегося состояния в другое и поэтому требуется значительное количество индикаторного вещества, то для импульс­ ного входного сигнала необходимо относительно небольшое коли­ чество вещества. Однако инженер должен учитывать возможность нарушения процесса при импульсном воздействии и, разумеется, в этом случае у него будет меньше материала для выполнения изме­

или подачи синусоидального входного сигнала требуется более сложное оборудование, чем в случае ступенчатого или импульс­ ного сигнала, и большие затраты времени, поскольку необходимо рассматривать несколько частот и на каждой частоте должно быть достигнуто установившееся состояние (для чего может потребовать­ ся несколько часов). При синусоидальном входном сигнале допу­ скается внесение в процесс лишь небольших возмущений. Однако, как указывалось ранее, в случае нелинейного процесса частота выходного сигнала смещается относительно частоты входного сигнала. Хоуген [2] приводит дополнительные сведения о некото­ рых практических вопросах, связанных с выбором входного сигнала.

^ ô (x) dx = 1, то ô (t) имеет размерность (время)"1 , а ô (z) —

оо

(длина)- 1 ; размерности a и ß должны быть такими, чтобы диф­ ференциальное уравнение было согласованным с точки зрения размерностей. Допустим, что некоторое фиксированное количе­ ство индикаторного вещества (трасера) т, равномерно распреде­ ленное по поперечному сечению А трубы или канала (по которому движется поток), вводится в трубу в некоторой фиксированной точке (z = 0) в момент t = 0. В этом случае коэффициент в члене, характеризующем источник, принимает значение a = ml А.

Уравнение (10.2.1) можно решить, выполняя последовательно преобразования Лапласа для обеих частей уравнения по t и z, группируя подобные члены и переходя затем к обратным пре­ образованиям:

y(t,z)=-%.ô(t-±). (10.2.2)

Соотношение (10.2.2) можно интерпретировать следующим образом: в момент t = z/v входной импульс появляется в точке z, все еще сохраняя форму импульса. Поскольку в этой модели не учитывается влияние диффузии или продольного перемешивания, такая интерпретация вполне допустима. Импульс распространяет­